Contenuto

• Al passo
• Metodo 1 di 1: Parte seconda: utilizzo della somma da 1 a N per trovare la somma di due numeri interi
• Suggerimenti
• Avvertenze

I numeri interi sono numeri interi senza frazioni o decimali. Se un problema di matematica richiede di calcolare la somma di un numero di numeri interi da 1 a un dato valore N, non è necessario sommare manualmente ciascun valore. Invece, per risparmiare tempo e fatica, usa l'equazione (N (N + 1)) / 2, dove N è il numero più alto della serie.

Al passo

1. Definisci il numero intero più grande come N. Quando si aggiungono numeri interi da 1 a un dato numero N., è necessario definire N stesso come numero intero positivo. N è un numero intero, quindi non può essere un numero decimale o una frazione. Anche N non deve essere negativo.
   • Ad esempio, supponiamo di voler aggiungere tutti i numeri interi da 1 a 100. In questo caso, 100 è il valore di N, perché questo è l'ultimo numero della nostra serie, o, in altre parole, il numero più grande dell'addizione.
2. Moltiplica N (N + 1) e dividi per 2. Dopo aver definito il valore di N, applicare questo valore all'equazione (N (N + 1)) / 2. Questa equazione trova la somma di tutti i numeri interi compresi tra 1 e N.
   • Nel nostro esempio, inseriamo 100, il valore di N, nell'equazione. (N (N + 1)) / 2 quindi diventa (100 (100 + 1)) / 2.
3. Calcola la risposta. Il valore finale di questa equazione è la somma di tutti i numeri compresi tra 1 e N.
   • Risolviamo questo esempio.
     • (100(100 + 1))/2 =
     • (100(101))/2 =
     • (10100)/2 =
     • 5050. È la somma di tutti i numeri interi da 1 a 100 5050.
4. Comprendi come viene derivata l'equazione (N (N + 1)) / 2. Dai un'altra occhiata al problema di esempio. Dividi questa sequenza 1 + 2 + 3 + 4 ... + 99 + 100 in due gruppi - da 1 a 50 e uno da 51 a 100. Se aggiungi il primo numero nel primo gruppo (1) all'ultimo numero in il secondo gruppo (100), ottieni 101. Ottieni la stessa risposta (101) con 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 e così via. Se aggiungiamo ogni numero nel primo gruppo al numero corrispondente nel secondo gruppo, otteniamo 50 coppie di numeri con la stessa somma: 101. Quindi, 50 x 101 = 5050, la somma per gli interi da 1 a 100 . Si noti che 50 è la metà di 100 e 101 è 100 + 1. In effetti, questa osservazione vale per la somma di qualsiasi numero intero positivo: l'aggiunta dei componenti può essere divisa in due gruppi ei numeri in questi gruppi possono essere assegnati gli uni agli altri in modo tale che ogni coppia abbia la stessa somma. Nota che per una sequenza dispari di numeri interi, rimane un numero - questo non influisce sulla risposta finale.
   • In generale, possiamo dire che per qualsiasi numero N, la somma dei numeri da 1 a N è uguale a (N / 2) (N + 1). La forma semplificata di questa equazione è (N (N + 1)) / 2, che è la somma dell'equazione dei numeri interi.

Metodo 1 di 1: Parte seconda: utilizzo della somma da 1 a N per trovare la somma di due numeri interi

1. Decidi se aggiungere inclusivo o esclusivo. Spesso l'obiettivo non è sommare un intervallo di numeri interi da 1 a un dato numero, ma ti verrà chiesto di trovare la somma di un intervallo di numeri interi fra due numeri interi N.₁ e n₂, dove N₁ > N₂ ed entrambi sono> 1. Il processo per trovare questa somma è relativamente semplice, ma prima di iniziare, dobbiamo decidere se la somma è inclusiva o esclusiva, in altre parole, se la N₁ e n₂ include o solo gli interi in mezzo, perché la procedura differisce leggermente l'una dall'altra in questi casi.
2. Per determinare la somma degli interi tra due numeri N.₁ e n₂ per prima cosa determiniamo la somma di ciascun valore di N separatamente e la sottraiamo. In generale, è sufficiente sottrarre la somma del valore N più piccolo dalla somma del valore N più grande per trovare la risposta. tuttavia, come indicato sopra, è importante sapere se questa aggiunta è inclusiva o esclusiva. L'inclusione dell'addizione richiede di sottrarre 1 dal valore di N.₂ prima di inserirlo nell'equazione, mentre l'enumerazione esclusiva richiede di sottrarre 1 dal valore di N.₁.
   • Diciamo che il file inclusivo somma degli interi compresi tra N.₁ = 100 e N₂ = 75. In altre parole, dobbiamo trovare la somma delle serie 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Per fare questo, prendiamo la somma degli interi da 1 a N₁e sottrai quella somma dagli interi da 1 a N.₂ - 1 (ricorda che aggiungiamo inclusivo, quindi sottrai 1 da N.₂) e risolverlo in questo modo:
     • (N₁(N₁ + 1)) / 2 - ((N₂-1) ((N₂-1) + 1))/2 =
     • (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
     • 5050 - (74(75))/2 =
     • 5050 - 5550/2 =
     • 5050 - 2775 = 2275. La somma inclusiva degli interi compresi tra 75 e 100 è 2275.
   • Ora facciamo esclusivo inizia a contare. L'equazione rimane la stessa, tranne per il fatto che in questo caso sottraiamo 1 da N₁ invece di N.₂:
     • ((N₁-1) ((N₁-1) + 1)) / 2 - (N₂(N₂ + 1))/2 =
     • (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
     • (99(100))/2 - (75(76))/2 =
     • 9900/2 – 5700/2 =
     • 4950 - 2850 = 2100. La somma esclusiva degli interi compresi tra 75 e 100 è 2100.
3. Comprendi perché questo processo funziona. Considera la somma degli interi da 1 a 100 come 1 + 2 + 3 ... + 98 + 99 + 100 e la somma degli interi da 1 a 75 come 1 + 2 + 3 ... + 73 + 74 + 75 . La somma inclusiva degli interi da 75 a 100 significa 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. La somma di 1-75 e 1-100 è la stessa fino a 75 -– a quel punto la somma di 1 -75 'si ferma' e la somma di 1 - 100 continua, con ... 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Pertanto, sottraendo la somma degli interi da 1-75 dalla somma degli interi da 1-100 us la capacità di separare la somma degli interi da 75-100.
   • Tuttavia, se aggiungiamo inclusivo, dobbiamo usare la somma di 1-74 invece della somma di 1-75 per assicurarci che 75 sia incluso nella somma finale.
   • Allo stesso modo, quando si aggiungono esclusivamente, usiamo la somma di 1-99, invece della somma di 1-100, per assicurarci che 100 non sia incluso nella somma. Possiamo usare la somma di 1-75 perché sottraendo questa somma dalla somma di 1-99 esclude il numero 75 dalla nostra somma finale.

Suggerimenti

• Il risultato è sempre un numero intero, perché n o n + 1 è pari e può quindi essere diviso per 2.
• In breve: SUM (da 1 a n) = n (n + 1) / 2
• SOMMA (da a a b) = SOMMA (da 1 a b) - SOMMA (da 1 a a-1).
  
  

Avvertenze

• Sebbene le generalizzazioni ai numeri negativi non siano molto difficili, questa spiegazione è limitata a tutti i numeri interi positivi N, dove N è almeno 1.