Contenuto

• Al passo
• Metodo 1 di 2: la lunghezza dei lati di un triangolo rettangolo
• Metodo 2 di 2: calcola la distanza tra due punti nel piano
• Suggerimenti

Il teorema di Pitagora descrive la lunghezza dei lati di un triangolo rettangolo in un modo così elegante e pratico da essere ancora ampiamente utilizzato. Questo afferma che per qualsiasi triangolo rettangolo, la somma dei quadrati dei lati dritti è uguale al quadrato dell'ipotenusa. In altre parole, per un triangolo rettangolo (un triangolo con lati perpendicolari tra loro), con lati di lunghezza aeb e un'ipotenusa di lunghezza c: a + b = c. Il teorema di Pitagora è uno dei pilastri della geometria e ha numerose applicazioni pratiche: usando questo teorema, ad esempio, è molto facile trovare la distanza tra due punti in un piano piatto.

Al passo

Metodo 1 di 2: la lunghezza dei lati di un triangolo rettangolo

1. Controlla se hai a che fare con un triangolo rettangolo. Il teorema di Pitagora può essere utilizzato solo con triangoli rettangoli, quindi prima di procedere è importante verificare che il tuo triangolo soddisfi la definizione di triangolo rettangolo. Fortunatamente, c'è solo un fattore decisivo a questo proposito: uno degli angoli del triangolo deve essere un angolo di 90 gradi.
   • Come indizio, gli angoli retti sono spesso contrassegnati da una piccola parentesi quadra per indicare che si tratta di un angolo di 90 gradi. Controlla se c'è una tale parentesi in uno degli angoli del tuo triangolo.
2. Assegna le variabili a, b e c ai lati del triangolo. Nel teorema di Pitagora, le variabili aeb si riferiscono al lato destro del triangolo e la variabile c all'ipotenusa, il lato lungo opposto all'angolo retto. Quindi, per cominciare, assegni le variabili aeb (l'ordine non ha importanza) ai lati retti ec assegni all'ipotenusa.
3. Determina quale lato del triangolo vuoi conoscere. Il teorema di Pitagora consente di trovare la lunghezza di ciascun lato di un triangolo, a condizione che due dei lati siano noti. Determina quale dei lati ha una lunghezza sconosciuta - un, be / o c. Se solo uno è sconosciuto, puoi procedere.
   • Supponiamo di sapere che l'ipotenusa ha una lunghezza di 5 e uno degli altri lati ha una lunghezza di 3. La lunghezza del lato rimanente è sconosciuta. Poiché due dei lati sono noti, possiamo procedere al calcolo della lunghezza del lato sconosciuto! Useremo di nuovo questo esempio in seguito.
   • Se la lunghezza di Due dei lati sono sconosciuti, è necessario determinare la lunghezza di almeno un altro lato per poter utilizzare il teorema di Pitagora. Le funzioni trigonometriche di base possono aiutarti in questo, a condizione che tu conosca uno degli altri angoli non retti del triangolo.
4. Calcola usando l'equazione e le persone che conosci. Inserisci i valori per la lunghezza dei lati del triangolo nell'equazione a + b = c. Ricorda che aeb sono i lati dritti ec è l'ipotenusa.
   • Nel nostro esempio, conosciamo la lunghezza di un lato e quella dell'ipotenusa (3 e 5), quindi scriviamo la nostra equazione in questo modo: 3² + b² = 5²
5. Calcola i quadrati. Per risolvere la tua equazione, inizia quadrando ciascuno dei lati noti. Se lo trovi più facile, puoi lasciare il potere e quadrarlo solo più tardi.
   • Nel nostro esempio, quadriamo 3 e 5 per ottenere risp. 9 e 25 ottenere. Possiamo ora riscrivere l'equazione come 9 + b² = 25.
6. Isolare la variabile sconosciuta su un lato del segno di uguale. Se necessario, usa le operazioni algebriche standard per portare l'ignoto da un lato del segno di uguale e il quadrato dall'altro. Se stai cercando di trovare l'ipotenusa, allora c nel teorema è già su un lato, quindi puoi saltare quel passaggio.
   • Nel nostro esempio, l'equazione è ora 9 + b² = 25. Per isolare b & sup2, sottraiamo 9 da entrambi i lati dell'equazione. Questo ci lascia con b² = 16.
7. Prendi la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione. Ora dovresti avere un quadrato (variabile) su un lato dell'equazione e un numero sull'altro. Ora tira la radice quadrata di entrambi i lati per trovare la lunghezza dell'ignoto.
   • Nel nostro esempio, b² = 16, l'equazione dopo il radicamento al quadrato è b = 4. Quindi possiamo dire che la lunghezza del lato sconosciuto del nostro triangolo è uguale a 4.
8. Usa il teorema di Pitagora nella pratica. Il motivo per cui il teorema di Pitagora è usato così tanto è perché è applicabile per risolvere molti problemi pratici. Impara a riconoscere i triangoli rettangoli nel mondo che ti circonda: ovunque tu possa riconoscere un triangolo rettangolo su uno o più oggetti, il teorema di Pitagora è applicabile per trovare la lunghezza di uno dei lati, a condizione che ci siano due lati o angoli.
   • Facciamo un esempio dal mondo reale. Una scala è appoggiata a un muro. Il fondo della scala è a 5 metri dal muro. La scala raggiunge i 20 metri dal fondo del muro. Quanto dura la scala?
     • "5 metri è la distanza dal muro" e "la scala è alta 20 metri". Questo dà un'indicazione della lunghezza dei lati del triangolo. Poiché possiamo supporre che il muro e il terreno formino un angolo retto e la scala sia diagonalmente contro il muro ad angolo, possiamo considerare questa disposizione come un triangolo rettangolo, i cui lati hanno una lunghezza di a = 5 eb = 20. La lunghezza della scala è l'ipotenusa, la variabile incognita c. Applichiamo il teorema di Pitagora:
       • a² + b² = c²
       • (5) ² + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c²
       • 425 = c²
       • sqrt (425) = c
       • c = 20,6. La lunghezza della scala è (approssimativa) 20,6 metri.

Metodo 2 di 2: calcola la distanza tra due punti nel piano

1. Definisci due punti nel piano. Il teorema di Pitagora può essere usato molto facilmente per trovare la distanza in linea retta tra due punti nel piano. Tutto ciò di cui hai bisogno sono le coordinate xey di due punti qualsiasi. Di solito queste coordinate sono scritte come (x, y).
   • Per trovare la distanza tra questi due punti, consideriamo ciascuno dei punti come uno dei vertici di un triangolo rettangolo, che non appartiene all'angolo retto. Ciò rende molto facile trovare la lunghezza di aeb, dopodiché è possibile calcolare c (l'ipotenusa e la distanza tra i due punti).
2. Disegna i due punti su un grafico. In un piano X-Y, per ogni punto (x, y), x è un punto sull'asse x orizzontale ey è un punto sull'asse y verticale. Puoi trovare la distanza tra i due senza rappresentarli graficamente, ma così facendo otterrai un riferimento visivo che puoi usare per verificare se la tua risposta ha senso.
3. Determina la lunghezza dei lati dritti del triangolo. Considerando i tuoi due punti come gli angoli del triangolo adiacente all'ipotenusa, puoi trovare la lunghezza dei lati a e b. Puoi farlo usando il grafico o usando le formule | x₁ - X₂| per il lato orizzontale e | y₁ - y₂| per il lato verticale, dove (x₁, y₁) è il primo punto e (x₂, y₂) il secondo punto.
   • Supponiamo di avere i punti (6,1) e (3,5). La lunghezza del lato orizzontale del nostro triangolo è:
     • | x₁ - X₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • La lunghezza del lato verticale è:
     • | y₁ - y₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • Quindi possiamo dire che la lunghezza dei lati del nostro triangolo rettangolo è uguale a a = 3 eb = 4.
4. Usa il teorema di Pitagora per trovare l'ipotenusa. La distanza tra i due punti è la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo. Usa il teorema di Pitagora per trovare l'ipotenusa del triangolo, con i lati a, be c.
   • Nel nostro esempio, conosciamo i punti (3,5) e (6,1) e le lunghezze dei lati sono a = 3 eb = 4, quindi determiniamo l'ipotenusa come segue:

     • (3) ² + (4) ² = c²

       c = sqrt (9 + 16)

       c = sqrt (25)

       c = 5. La distanza tra (3,5) e (6,1) è 5.

Suggerimenti

• Se il triangolo non è un triangolo rettangolo, non puoi semplicemente usare il teorema di Pitagora.
• L'ipotenusa è sempre:
  • la linea opposta all'angolo retto
  • il lato più lungo del triangolo rettangolo
  • la variabile c nel teorema di Pitagora
• sqrt (x) significa "la radice quadrata di x".
• Non dimenticare di controllare sempre le tue risposte. Se una risposta sembra essere errata, controlla i tuoi calcoli o ricomincia.
• Se conosci solo un lato del triangolo, ma anche uno degli altri angoli (quindi l'angolo retto), calcola prima un altro lato con ciò che sai della trigonometria (sin, cos, tan) o le proporzioni 30-60-90 / 45-45-90.
• Un altro controllo: il lato più lungo è opposto all'angolo maggiore e il lato più corto è opposto all'angolo più piccolo.