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• Al passo

Un'equazione trigonometrica è un'equazione con una o più funzioni trigonometriche della curva trigonometrica variabile x. Risolvere per x significa trovare i valori delle curve trigonometriche le cui funzioni trigonometriche fanno sì che l'equazione trigonometrica sia vera.

• Le risposte, o valori, delle curve di soluzione sono espresse in gradi o radianti. Esempi:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 gradi; x = 37,12 gradi; x = 178,37 gradi

• Nota: sul cerchio unitario, le funzioni trigonometriche di qualsiasi curva sono uguali alle funzioni trigonometriche dell'angolo corrispondente. Il cerchio unitario definisce tutte le funzioni trigonometriche della curva variabile x. È anche usato come prova per risolvere equazioni e disequazioni trigonometriche di base.
• Esempi di equazioni trigonometriche:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + lettino x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Il cerchio unitario.
   • Questo è un cerchio con raggio = 1, dove O è l'origine. Il cerchio unitario definisce le 4 principali funzioni trigonometriche della variabile curva x, che la circonda in senso antiorario.
   • Quando la curva con valore x varia sul cerchio unitario, allora vale:
   • L'asse orizzontale OAx definisce la funzione trigonometrica f (x) = cos x.
   • L'asse verticale OBy definisce la funzione trigonometrica f (x) = sin x.
   • L'asse verticale AT definisce la funzione trigonometrica f (x) = tan x.
   • L'asse orizzontale BU definisce la funzione trigonometrica f (x) = cot x.

• Il cerchio unitario viene utilizzato anche per risolvere le equazioni trigonometriche di base e le disequazioni trigonometriche standard considerando le varie posizioni della curva x sul cerchio.

Al passo

1. Comprendi il metodo di soluzione.
   • Per risolvere un'equazione trigonometrica, convertila in una o più equazioni trigonometriche di base. La risoluzione di equazioni trigonometriche si traduce in ultima analisi nella risoluzione di 4 equazioni trigonometriche di base.
2. Impara a risolvere le equazioni trigonometriche di base.
   • Esistono 4 equazioni trigonometriche di base:
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a; lettino x = a
   • È possibile risolvere le equazioni trigonometriche di base studiando le varie posizioni della curva x sul cerchio trigonometrico e utilizzando una tabella di conversione trigonometrica (o calcolatrice). Per comprendere appieno come risolvere queste e simili equazioni trigonometriche di base, leggere il seguente libro: "Trigonometry: Solving Trigonometric Equations and inequality" (Amazon E-book 2010).
   • Esempio 1. Risolvi per sin x = 0,866. La tabella di conversione (o calcolatrice) fornisce la risposta: x = Pi / 3. Il cerchio trigonometrico fornisce un'altra curva (2Pi / 3) con lo stesso valore per il seno (0,866). Il cerchio trigonometrico fornisce anche un'infinità di risposte chiamate risposte estese.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi e x2 = 2Pi / 3. (Risposte entro un periodo (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi e x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Risposte dettagliate).
   • Esempio 2. Risolvi: cos x = -1/2. Le calcolatrici danno x = 2 Pi / 3. Il cerchio trigonometrico fornisce anche x = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi e x2 = - 2Pi / 3. (Risposte per periodo (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi e x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Risposte estese)
   • Esempio 3. Risolvi: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Risposta)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Risposta estesa)
   • Esempio 4. Risolvi: cot 2x = 1,732. Le calcolatrici e il cerchio trigonometrico danno:
   • x = Pi / 12; (Risposta)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Risposte estese)
3. Impara le trasformazioni utilizzate per risolvere le equazioni trigonometriche.
   • Per convertire una data equazione trigonometrica in equazioni trigonometriche standard, utilizzare conversioni algebriche standard (fattorizzazione, fattore comune, polinomi ...), definizioni e proprietà delle funzioni trigonometriche e identità trigonometriche. Sono circa 31, di cui 14 sono identità trigonometriche, da 19 a 31, dette anche identità di trasformazione, perché utilizzate nella conversione di equazioni trigonometriche. Vedi il libro sopra.
   • Esempio 5: L'equazione trigonometrica: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 può essere convertita in un prodotto di equazioni trigonometriche di base utilizzando identità trigonometriche: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Le equazioni trigonometriche di base da risolvere sono: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; e cos (x / 2) = 0.
4. Trova le curve per le quali sono note le funzioni trigonometriche.
   • Prima di poter imparare a risolvere le equazioni trigonometriche, è necessario sapere come trovare rapidamente le curve per le quali sono note le funzioni trigonometriche. I valori di conversione delle curve (o degli angoli) possono essere determinati con tabelle trigonometriche o calcolatrice.
   • Esempio: risolvere per cos x = 0,732. La calcolatrice fornisce la soluzione x = 42,95 gradi. Il cerchio unitario fornisce altre curve con lo stesso valore per il coseno.
5. Disegna l'arco della risposta sul cerchio unitario.
   • È possibile creare un grafico per illustrare la soluzione sul cerchio unitario. I punti finali di queste curve sono poligoni regolari sul cerchio trigonometrico. Qualche esempio:
   • I punti finali della curva x = Pi / 3 + k. Pi / 2 è un quadrato sul cerchio unitario.
   • Le curve di x = Pi / 4 + k.Pi / 3 sono rappresentate dalle coordinate di un esagono sul cerchio unitario.
6. Impara a risolvere le equazioni trigonometriche.
   • Se l'equazione trigonometrica data contiene solo una funzione trigonometrica, risolverla come un'equazione trigonometrica standard. Se l'equazione data contiene due o più funzioni trigonometriche, ci sono 2 metodi di soluzione, a seconda delle opzioni per convertire l'equazione.
     • A. Metodo 1.
   • Converti l'equazione trigonometrica in un prodotto della forma: f (x) .g (x) = 0 of (x) .g (x) .h (x) = 0, dove f (x), g (x) e h (x) sono equazioni trigonometriche di base.
   • Esempio 6. Risolvi: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Soluzione. Sostituisci sin 2x nell'equazione usando l'identità: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Quindi risolvi 2 funzioni trigonometriche standard: cos x = 0 e (sin x + 1) = 0.
   • Esempio 7. Risolvi: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Soluzione: convertilo in un prodotto, utilizzando le identità trigonometriche: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Ora risolvi le 2 equazioni trigonometriche di base: cos 2x = 0 e (2cos x + 1) = 0.
   • Esempio 8. Risolvi: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Soluzione: converti questo in un prodotto, utilizzando le identità trigonometriche: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Ora risolvi le 2 equazioni trigonometriche di base: cos 2x = 0 e (2sin x + 1) = 0.
     • B. Approccio 2.
   • Converte l'equazione trigonometrica in un'equazione trigonometrica con una sola funzione trigonometrica come variabile. Ci sono alcuni suggerimenti su come scegliere una variabile adatta. Le variabili comuni sono: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = te tan (x / 2) = t.
   • Esempio 9. Risolvi: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Soluzione. Nell'equazione, sostituisci (cos ^ 2x) con (1 - sin ^ 2x) e semplifica l'equazione:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Ora usa sin x = t. L'equazione diventa: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Questa è un'equazione quadratica con 2 radici: t1 = -1 e t2 = 9/5. Possiamo rifiutare il secondo t2, perché> 1. Ora risolvi per: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Esempio 10. Risolvi: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
   • Soluzione. Usa tan x = t. Converti l'equazione data in un'equazione con t come variabile: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Risolvi per t da questo prodotto, quindi risolvi l'equazione trigonometrica standard tan x = t per x.
7. Risolvi equazioni trigonometriche speciali.
   • Ci sono alcune equazioni trigonometriche speciali che richiedono alcune conversioni specifiche. Esempi:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Impara le proprietà periodiche delle funzioni trigonometriche.
   • Tutte le funzioni trigonometriche sono periodiche, il che significa che tornano allo stesso valore dopo una rotazione su un periodo. Esempi:
     • La funzione f (x) = sin x ha 2Pi come periodo.
     • La funzione f (x) = tan x ha Pi come punto.
     • La funzione f (x) = sin 2x ha Pi come punto.
     • La funzione f (x) = cos (x / 2) ha 4Pi come periodo.
   • Se il periodo è specificato negli esercizi / test, è sufficiente trovare le curve x all'interno di questo periodo.
   • NOTA: la risoluzione di equazioni trigonometriche è complicata e spesso porta a errori ed errori. Pertanto, le risposte dovrebbero essere attentamente controllate. Dopo aver risolto, è possibile controllare le risposte utilizzando una calcolatrice grafica, per una rappresentazione diretta della data equazione trigonometrica R (x) = 0. Le risposte (come radice quadrata) sono fornite in cifre decimali. Ad esempio, Pi ha un valore di 3,14