Autore:
Peter Berry
Data Della Creazione:
13 Luglio 2021
Data Di Aggiornamento:
1 Luglio 2024
Contenuto
Quando due linee si intersecano su un sistema di coordinate bidimensionale, si incontrano solo in un punto rappresentato dalla coppia di coordinate xey. Poiché entrambe le linee passano per quel punto, le coppie di coordinate xey devono soddisfare entrambe le equazioni. Con alcune tecniche aggiuntive, puoi trovare l'intersezione della parabola e di altre curve quadratiche facendo lo stesso argomento.
Passi
Metodo 1 di 2: trova l'intersezione di due linee
Scrivi l'equazione per ogni riga con y sul lato sinistro. Se necessario, cambia l'equazione in modo che solo y si trovi su un lato del segno di uguale. Se l'equazione usa f (x) o g (x) invece di y, separa questo termine. Ricorda che puoi annullare i termini facendo la stessa matematica su entrambi i lati.
- Se il problema non mostra le equazioni, cercale tra le informazioni disponibili.
- Per esempio: Due linee hanno equazioni di e. Nella seconda equazione, affinché il lato sinistro abbia solo y, aggiungi 12 a entrambi i lati:
Rendi uguali i lati destro delle due equazioni. Stiamo cercando un punto in cui due linee abbiano la stessa coordinata x, y; Qui è dove due linee si intersecano. Entrambe le equazioni hanno solo y sul lato sinistro, quindi il loro lato destro sarà lo stesso. Scrivi una nuova equazione per dimostrarlo.- Per esempio: Lo sappiamo e, quindi.
Risolvi per x. La nuova equazione ha solo una variabile x. Risolvere equazioni usando il metodo algebrico significa fare la stessa matematica su entrambi i lati. Converti tutti i termini con x su un lato dell'equazione, quindi converti in x = __. (Se non puoi, scorri verso il basso fino alla fine di questa sezione).- Per esempio:
- Aggiungi a due lati:
- Sottrai 3 da due lati:
- Dividi i due lati per 3:
- .
Usa il valore x per trovare y. Seleziona l'equazione di una delle due linee. Inserisci il valore di x trovato in questa equazione. Risolvi per y con il metodo aritmetico.- Per esempio: e
Controlla il risultato. Dovresti sostituire il valore x nell'altra equazione per vedere se ottieni lo stesso risultato. Se ottieni un valore y diverso, devi controllare il tuo lavoro.
- Per esempio: e
- Quindi otteniamo lo stesso valore di y. La soluzione non ha errori.
Scrivi una coppia di coordinate x, y dell'intersezione. Ora hai trovato una coppia di coordinate xey dove due linee si intersecano. Scrivi questo punto in coppie di coordinate, con il valore x che precede.
- Per esempio: e
- Le due linee si intersecano in (3,6).
Gestione di casi insoliti. Alcune equazioni non possono essere risolte per trovare x. Questo non è necessariamente perché hai commesso un errore. Le equazioni di una coppia di linee possono avere una soluzione insolita nei seguenti due casi:
- Se le due linee sono parallele, non si intersecano. I termini x verranno soppressi e l'equazione semplificata in una dichiarazione falsa (ad esempio). Scrivi la risposta come "le due linee non si intersecano"o"non esiste una vera soluzione’.
- Se due equazioni rappresentano la stessa linea, si "intersecano" in tutti i punti. I termini x verranno distrutti e l'equazione semplificata in un'affermazione vera (ad esempio). Scrivi la risposta come "le due linee si sovrappongono’.
Metodo 2 di 2: problemi matematici con equazioni quadratiche
Riconosci le equazioni quadratiche. In un'equazione quadratica, una o più variabili avranno potenze (o) e nessuna variabile avrà potenze maggiori. I grafici di queste equazioni sono curve, quindi possono tagliare la linea in 0, 1 o 2 punti. Questa sezione mostra come trovare quelle intersezioni nel problema.
- Espansione delle equazioni tra parentesi per verificare se sono quadratiche. Ad esempio, esiste una forma quadratica perché è espansa a
- Le equazioni di cerchi ed ellissi hanno tutti e due termine e. In caso di problemi con questi casi speciali, vedere i suggerimenti di seguito.
Scrivi le equazioni secondo y. Se necessario, scambia ogni equazione in modo che solo y si trovi su un lato del segno di uguale.
- Per esempio: Trova l'intersezione di e.
- Riscrivi l'equazione quadratica su y:
- e.
- Questo esempio ha un'equazione quadratica e un'equazione lineare. I problemi con due equazioni quadratiche sono risolti in modo simile.
Combina due equazioni per annullare y. Dopo aver convertito due equazioni in y, i lati senza y saranno uguali.
- Per esempio: e
Trasforma la nuova equazione in modo che un lato sia zero. Usa il metodo algebrico per convertire tutti i termini in un lato. Quindi il problema è pronto per essere risolto nel passaggio successivo.
- Per esempio:
- Sottrai x da due lati:
- Sottrai 7 da due lati:
Risolvi equazioni quadratiche. Dopo essere passati all'equazione zero, hai tre soluzioni e starà a te scegliere quale scegliere. Puoi imparare a utilizzare la formula quadratica o il metodo del "complemento al quadrato" oppure vedere i seguenti esempi di fattorizzazione:
- Per esempio:
- Lo scopo della fattorizzazione è trovare due fattori che, moltiplicati, creano un'equazione. A partire dal primo termine, sappiamo che può essere scomposto in x e x. Scrivi come (x) (x) = 0.
- L'ultimo termine è -6. Elenca ogni coppia di fattori che sarebbe uguale a -6: ,, e quando moltiplicata.
- Il termine al centro è x (può essere scritto come 1x). Somma ogni fattore insieme fino a ottenere un risultato di 1. La coppia di fattori è corretta, perché.
- Inserisci questa coppia di fattori negli spazi vuoti nella tua risposta :.
Nota che abbiamo due soluzioni x. Se lo risolvi troppo velocemente, potresti trovare solo una soluzione e non renderti conto che esiste una seconda soluzione. Ecco come trovare due soluzioni x per le linee che intersecano due punti:
- Per esempio (analisi fattoriale): Finalmente abbiamo l'equazione. Se uno dei fattori è 0, l'equazione è soddisfatta. Una soluzione è →. L'altra soluzione è →.
- Per esempio (formula della radice quadrata o complemento al quadrato): se si utilizza uno di questi metodi per risolvere l'equazione, verrà visualizzato il segno della radice quadrata. Ad esempio, l'equazione diventa. Ricorda che il numero della radice quadrata può essere semplicemente trasformato in due diverse soluzioni: e . Scrivi due equazioni per ogni caso e risolvi la x corrispondente.
Risolvi i problemi con una o nessuna soluzione. Due linee che si incontrano alla volta hanno una sola intersezione e due linee che non si toccano mai non avranno intersezione. Ecco come dirlo:
- Una soluzione: il problema può essere analizzato in due fattori identici ((x-1) (x-1) = 0). Quando si sostituisce la formula quadratica, il termine ha la radice. Hai solo bisogno di risolvere un'equazione.
- Nessuna soluzione reale: nessun fattore può soddisfare il requisito (somma per il termine al centro). Quando si sostituisce la formula quadratica, si ha un numero negativo sotto la radice quadrata (ad esempio). Scrivi la risposta come "nessuna soluzione".
Sostituisci i valori x nell'equazione originale. Dopo aver ottenuto il valore x del punto di intersezione, sostituiscilo con una delle equazioni originali. Risolvi per trovare il valore di y. Se hai due valori x, risolvi per due valori y.
- Per esempio: Troviamo due soluzioni, e. In entrambi i casi ha l'equazione. Sostituisci e, quindi risolvi ogni equazione per trovare e.
Scrivi le coordinate del punto. Ora scrivi le tue risposte come coordinate in base ai valori xey dell'intersezione. Se hai due risposte, ricordati di scrivere i valori x e y in coppia.
- Per esempio: Quando invece abbiamo, quindi l'intersezione ha coordinate (2, 9). Fai lo stesso per la seconda soluzione che darà le coordinate dell'altra intersezione (-3, 4).
Consigli
- Le equazioni di cerchi ed ellissi hanno un termine e un certo numero di classi. Per trovare l'intersezione del cerchio e della linea, risolvi x in un'equazione lineare. Sostituisci la soluzione con x nell'equazione del cerchio e avrai un quadratico più facile da risolvere. Questi problemi possono avere 0, 1 o 2 soluzioni, come descritto nel metodo sopra.
- Un cerchio e una parabola (o un altro quadratico) possono avere 0, 1, 2, 3 o 4 soluzioni. Trova la variabile con potenza 2 in entrambe le equazioni, ad esempio x. Risolvi e sostituisci la tua soluzione nell'altra equazione. Risolvi per y per ottenere 0, 1 o 2 soluzioni. Sostituisci ogni soluzione con l'equazione quadratica originale per risolvere x. Ciascuna di queste equazioni può avere 0, 1 o 2 soluzioni.
