Come dividere le matrici

Contenuto

Breve riassunto
Passi
Parte 1 di 3: test della divisibilità delle matrici
Parte 2 di 3: Trovare la matrice inversa
Parte 3 di 3: Moltiplicazione di matrici
Consigli
Avvertenze
Articoli aggiuntivi

Se sai come moltiplicare due matrici, puoi iniziare a "dividere" le matrici. La parola "divisione" è racchiusa tra virgolette, perché le matrici non possono essere effettivamente divise. L'operazione di divisione è sostituita dall'operazione di moltiplicare una matrice per una matrice che è l'inversa della seconda matrice. Per semplicità, considera un esempio con numeri interi: 10 ÷ 5. Trova il reciproco di 5: 5 o /₅, quindi sostituisci divisione per moltiplicazione: 10 x 5; il risultato della divisione e della moltiplicazione sarà lo stesso. Pertanto, si ritiene che la divisione possa essere sostituita dalla moltiplicazione per la matrice inversa. Tipicamente, tali calcoli vengono utilizzati per risolvere sistemi di equazioni lineari.

Breve riassunto

Non puoi dividere le matrici. Invece di dividere, una matrice viene moltiplicata per l'inversa della seconda matrice. La "divisione" di due matrici [A] ÷ [B] si scrive come segue: [A] * [B] o [B] * [A].
Se la matrice [B] non è quadrata, o se il suo determinante è 0, scrivi "nessuna soluzione univoca". Altrimenti, trova il determinante della matrice [B] e vai al passaggio successivo.
Trova l'inverso: [B].
Moltiplicare le matrici per trovare [A] * [B] o [B] * [A]. Tieni presente che l'ordine in cui vengono moltiplicate le matrici influisce sul risultato finale (ovvero, i risultati possono variare).

Passi

Parte 1 di 3: test della divisibilità delle matrici

1 Comprendere la "divisione" delle matrici. Infatti, le matrici non possono essere divise. Non esiste un'operazione matematica come "dividere una matrice per un'altra". La divisione viene sostituita moltiplicando una matrice per l'inversa della seconda matrice. Cioè, la notazione [A] ÷ [B] non è corretta, quindi viene sostituita con la seguente notazione: [A] * [B]. Poiché entrambe le voci sono equivalenti nel caso di valori scalari, teoricamente si può parlare di "divisione" di matrici, ma è comunque meglio usare la terminologia corretta.
- Notare che [A] * [B] e [B] * [A] sono operazioni diverse. Potrebbe essere necessario eseguire entrambe le operazioni per trovare tutte le soluzioni possibili.
- Ad esempio, invece di ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ scrivi ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Potrebbe essere necessario calcolare ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ per ottenere un risultato diverso.
2 Assicurati che la matrice per cui stai "dividendo" l'altra matrice sia quadrata. Per invertire una matrice (trovare l'inversa di una matrice), deve essere quadrata, cioè con lo stesso numero di righe e colonne. Se la matrice invertita non è inversa, non esiste una soluzione definita.
- Anche in questo caso le matrici non sono "divisibili". Nell'operazione [A] * [B], la condizione descritta si riferisce alla matrice [B]. Nel nostro esempio, questa condizione si riferisce alla matrice ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- Una matrice che può essere invertita è detta non degenere o regolare. Una matrice che non può essere invertita è detta degenere o singolare.
3 Controlla se le due matrici possono essere moltiplicate. Per moltiplicare due matrici, il numero di colonne nella prima matrice deve essere uguale al numero di righe nella seconda matrice. Se questa condizione non è soddisfatta nella voce [A] * [B] o [B] * [A], non c'è soluzione.
- Ad esempio, se la dimensione della matrice [A] è 4 x 3 e la dimensione della matrice [B] è 2 x 2, non c'è soluzione. Non puoi moltiplicare [A] * [B] perché 4 2 e non puoi moltiplicare [B] * [A] perché 2 3.
- Si noti che la matrice inversa [B] ha sempre lo stesso numero di righe e colonne della matrice originale [B]. Non è necessario trovare la matrice inversa per verificare che due matrici possano essere moltiplicate.
- Nel nostro esempio, la dimensione di entrambe le matrici è 2 x 2, quindi possono essere moltiplicate in qualsiasi ordine.
4 Trova il determinante della matrice 2 × 2. Ricorda: puoi invertire una matrice solo se il suo determinante è diverso da zero (altrimenti non puoi invertire la matrice). Ecco come trovare il determinante di una matrice 2 x 2:
- Matrice 2x2: determinante di una matrice ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ è uguale a ad - bc. Cioè, dal prodotto degli elementi della diagonale principale (passa per gli angoli in alto a sinistra e in basso a destra), sottrai i prodotti degli elementi dell'altra diagonale (passa per gli angoli in alto a destra e in basso a sinistra).
- Ad esempio, il determinante della matrice ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ è uguale a (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Il determinante è diverso da zero, quindi questa matrice può essere invertita.
5 Trova il determinante della matrice più grande. Se la dimensione della matrice è 3 x 3 o più, il determinante è leggermente più difficile da calcolare.
- matrice 3 x 3: seleziona un elemento e cancella la riga e la colonna in cui si trova.Trova il determinante della matrice 2 × 2 risultante, quindi moltiplicalo per l'elemento selezionato; specificare il segno del determinante in un'apposita tabella. Ripetere questo processo per gli altri due elementi che si trovano nella stessa riga o colonna dell'elemento selezionato. Quindi trovare la somma dei (tre) determinanti ricevuti. Leggi questo articolo per ulteriori informazioni su come trovare il determinante di una matrice 3 x 3.
- Matrici grandi: il determinante di tali matrici è meglio ricercato con una calcolatrice grafica o un software. Il metodo è simile al metodo per trovare il determinante di una matrice 3 × 3, ma è piuttosto noioso applicarlo manualmente. Ad esempio, per trovare il determinante di una matrice 4 x 4, è necessario trovare i determinanti di quattro matrici 3 x 3.
6 Continua i calcoli. Se la matrice non è quadrata o se il suo determinante è uguale a zero, scrivi "nessuna soluzione univoca", ovvero il processo di calcolo è completato. Se la matrice è quadrata e ha un determinante diverso da zero, passa alla sezione successiva.

Parte 2 di 3: Trovare la matrice inversa

1 Scambia gli elementi della diagonale principale della matrice 2 x 2. Data una matrice 2 × 2, usa il metodo inverso rapido. Innanzitutto, scambia l'elemento in alto a sinistra e l'elemento in basso a destra. Per esempio:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Nota: la maggior parte delle persone usa le calcolatrici per invertire una matrice 3 x 3 (o più grande). Se devi farlo manualmente, vai alla fine di questa sezione.
2 Non scambiare i restanti due elementi, ma cambia il loro segno. Cioè, moltiplica l'elemento in alto a destra e l'elemento in basso a sinistra per -1:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Trova il reciproco del determinante. Il determinante di questa matrice è stato trovato nella sezione precedente, quindi non lo calcoleremo di nuovo. L'inverso del determinante si scrive come segue: 1 / (determinante):
- Nel nostro esempio, il determinante è 13. Valore inverso: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Moltiplica la matrice risultante per il reciproco del determinante. Moltiplica ogni elemento della nuova matrice per l'inverso del determinante. La matrice finale sarà l'inversa della matrice originale 2 x 2:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} fine {pmatrix}}}$
5 Controlla che i calcoli siano corretti. Per fare ciò, moltiplica la matrice originale per il suo inverso. Se i calcoli sono corretti, il prodotto della matrice originale per l'inverso darà la matrice identità: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Se il test ha avuto esito positivo, passare alla sezione successiva.
- Nel nostro esempio: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {matrice}}}$ .
- Per ulteriori informazioni su come moltiplicare le matrici, leggi questo articolo.
- Nota: l'operazione di moltiplicazione di matrici non è commutativa, cioè l'ordine delle matrici è importante. Ma quando la matrice originale viene moltiplicata per il suo inverso, qualsiasi ordine porta alla matrice identità.
6 Trova l'inversa di una matrice 3 x 3 (o più grande). Se hai già familiarità con questo processo, è meglio utilizzare una calcolatrice grafica o un software speciale. Se è necessario trovare manualmente la matrice inversa, il processo è brevemente descritto di seguito:
- Unisciti alla matrice identità I sul lato destro della matrice originale. Ad esempio, [B] → [B | IO]. Per la matrice identità, tutti gli elementi della diagonale principale sono uguali a 1 e tutti gli altri elementi sono uguali a 0.
- Semplifica la matrice in modo che il suo lato sinistro diventi a gradini; continuare a semplificare in modo che il membro sinistro diventi la matrice identità.
- Dopo la semplificazione, la matrice assumerà la forma seguente: [I | B]. Cioè, il suo lato destro è l'inverso della matrice originale.

Parte 3 di 3: Moltiplicazione di matrici

1 Scrivi due possibili espressioni. L'operazione di moltiplicazione di due scalari è commutativa, cioè 2 x 6 = 6 x 2.Questo non è il caso della moltiplicazione matriciale, quindi potresti dover risolvere due espressioni:
- X = [A] * [B] è la soluzione dell'equazione X[B] = [A].
- X = [B] * [A] è la soluzione dell'equazione [B]X = [A].
- Eseguire ogni operazione matematica su entrambi i lati dell'equazione. Se [A] = [C] allora [B] [A] ≠ [C] [B] perché [B] è a sinistra di [A] ma a destra di [C].
2 Determinare la dimensione della matrice finale. La dimensione della matrice finale dipende dalla dimensione delle matrici moltiplicate. Il numero di righe nella matrice finale è uguale al numero di righe nella prima matrice e il numero di colonne nella matrice finale è uguale al numero di colonne nella seconda matrice.
- Nel nostro esempio, la dimensione di entrambe le matrici ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ e ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} fine {pmatrix}}}$ è 2 x 2, quindi la dimensione della matrice originale sarà 2 x 2.
- Consideriamo un esempio più complesso: se la dimensione della matrice [A] è 4 x 3, e la dimensione della matrice [B] è 3 x 3, allora la matrice finale [A] * [B] sarà 4 x 3.
3 Trova il valore del primo elemento. Leggi questo articolo o ricorda i seguenti passaggi di base:
- Per trovare il primo elemento (prima riga, prima colonna) della matrice finale [A] [B], calcolare il prodotto scalare degli elementi della prima riga della matrice [A] e degli elementi della prima colonna della matrice [B ]. Nel caso di una matrice 2 x 2, il prodotto scalare viene calcolato come segue: ${ stile di visualizzazione a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- Nel nostro esempio: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Pertanto, il primo elemento della matrice finale sarà l'elemento:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ stile di visualizzazione = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 Continua a calcolare i prodotti scalari per trovare ogni elemento della matrice finale. Ad esempio, l'elemento situato nella seconda riga e nella prima colonna è uguale al prodotto scalare della seconda riga della matrice [A] e della prima colonna della matrice [B]. Prova a trovare tu stesso gli elementi rimanenti. Dovresti ottenere i seguenti risultati:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 fine {pmatrice}}}$
- Se hai bisogno di trovare un'altra soluzione: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 fine {pmatrix}}}$

Consigli

La matrice può essere divisa in uno scalare; per questo, ogni elemento della matrice è diviso per uno scalare.
- Ad esempio, se la matrice ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ diviso per 2, ottieni la matrice ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Avvertenze

La calcolatrice non fornisce sempre risultati assolutamente accurati quando si tratta di calcoli con matrici. Ad esempio, se la calcolatrice afferma che l'elemento è un numero molto piccolo (come 2E), è molto probabile che il valore sia zero.