Contenuto

• Passi
• Metodo 1 di 3: Come risolvere un'equazione cubica senza un termine costante
• Metodo 2 di 3: Come trovare radici intere usando i moltiplicatori
• Metodo 3 di 3: Come risolvere un'equazione usando il discriminante

In un'equazione cubica, l'esponente più alto è 3, tale equazione ha 3 radici (soluzioni) e ha la forma ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Alcune equazioni cubiche non sono così facili da risolvere, ma se applichi il metodo giusto (con un buon background teorico), puoi trovare le radici anche dell'equazione cubica più complessa - per questo usa la formula per risolvere l'equazione quadratica, trova il radici intere o calcolare il discriminante.

Passi

Metodo 1 di 3: Come risolvere un'equazione cubica senza un termine costante

1. 1 Scopri se c'è un termine libero nell'equazione cubica D{ stile di visualizzazione d}. L'equazione cubica ha la forma ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Perché un'equazione sia considerata cubica, è sufficiente che solo il termine ${ stile di visualizzazione x ^ {3}}$ (cioè, potrebbero non esserci altri membri).
   • Se l'equazione ha un termine libero ${ stile di visualizzazione d}$, utilizzare un metodo diverso.
   • Se nell'equazione ${ stile di visualizzazione a = 0}$, non è cubica.
2. 2 Togli le parentesi X{ stile di visualizzazione x}. Poiché non esiste un termine libero nell'equazione, ogni termine nell'equazione include la variabile ${ stile di visualizzazione x}$... Questo significa che uno ${ stile di visualizzazione x}$ possono essere escluse dalle parentesi per semplificare l'equazione. Quindi, l'equazione sarà scritta in questo modo: ${ stile di visualizzazione x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • Ad esempio, data un'equazione cubica ${ stile di visualizzazione 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Portare fuori ${ stile di visualizzazione x}$ parentesi e ottieni ${ stile di visualizzazione x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Fattorizzare (il prodotto di due binomi) l'equazione quadratica (se possibile). Molte equazioni quadratiche della forma ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ può essere fattorizzato. Tale equazione risulterà se eliminiamo ${ stile di visualizzazione x}$ fuori dalle parentesi. Nel nostro esempio:
   • Togli le parentesi ${ stile di visualizzazione x}$: ${ stile di visualizzazione x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Fattorizzare l'equazione quadratica: ${ stile di visualizzazione x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Uguaglia ogni contenitore a ${ stile di visualizzazione 0}$... Le radici di questa equazione sono ${ stile di visualizzazione x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Risolvi un'equazione quadratica usando una formula speciale. Fallo se l'equazione quadratica non può essere fattorizzata. Per trovare due radici di un'equazione, i valori dei coefficienti ${ stile di visualizzazione a}$, ${ stile di visualizzazione b}$, ${ stile di visualizzazione c}$ sostituire nella formula ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • Nel nostro esempio, sostituiamo i valori dei coefficienti ${ stile di visualizzazione a}$, ${ stile di visualizzazione b}$, ${ stile di visualizzazione c}$ (${ stile di visualizzazione 3}$, ${ stile di visualizzazione -2}$, ${ stile di visualizzazione 14}$) nella formula:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Prima radice:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Seconda radice:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Usa zero e radici quadratiche come soluzioni dell'equazione cubica. Le equazioni quadratiche hanno due radici, mentre quelle cubiche ne hanno tre. Hai già trovato due soluzioni: queste sono le radici dell'equazione quadratica. Se metti "x" fuori dalle parentesi, la terza soluzione sarebbe ${ stile di visualizzazione 0}$.
   • Se togli "x" dalle parentesi, ottieni ${ stile di visualizzazione x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$, cioè due fattori: ${ stile di visualizzazione x}$ e un'equazione quadratica tra parentesi. Se uno di questi fattori è ${ stile di visualizzazione 0}$, l'intera equazione è anche uguale a ${ stile di visualizzazione 0}$.
   • Quindi, due radici di un'equazione quadratica sono soluzioni di un'equazione cubica. La terza soluzione è ${ stile di visualizzazione x = 0}$.

Metodo 2 di 3: Come trovare radici intere usando i moltiplicatori

1. 1 Assicurati che ci sia un termine libero nell'equazione cubica D{ stile di visualizzazione d}. Se in un'equazione della forma ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ c'è un membro gratuito ${ stile di visualizzazione d}$ (che non è uguale a zero), non funzionerà per mettere "x" fuori dalle parentesi. In questo caso, utilizzare il metodo descritto in questa sezione.
   • Ad esempio, data un'equazione cubica ${ stile di visualizzazione 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... Per ottenere lo zero sul lato destro dell'equazione, aggiungi ${ stile di visualizzazione 6}$ ad entrambi i lati dell'equazione.
   • L'equazione verrà fuori ${ stile di visualizzazione 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... Come ${ stile di visualizzazione d = 6}$, il metodo descritto nella prima sezione non può essere utilizzato.
2. 2 Scrivi i fattori del coefficiente un{ stile di visualizzazione a} e un membro gratuito D{ stile di visualizzazione d}. Cioè, trova i fattori del numero a ${ stile di visualizzazione x ^ {3}}$ e numeri prima del segno di uguale. Ricordiamo che i fattori di un numero sono i numeri che, moltiplicati, producono quel numero.
   • Ad esempio, per ottenere il numero 6, devi moltiplicare ${ stile di visualizzazione 6 volte 1}$ e ${ stile di visualizzazione 2 volte 3}$... Quindi i numeri 1, 2, 3, 6 sono fattori del numero 6.
   • Nella nostra equazione ${ stile di visualizzazione a = 2}$ e ${ stile di visualizzazione d = 6}$... moltiplicatori 2 sono 1 e 2... moltiplicatori 6 sono i numeri 1, 2, 3 e 6.
3. 3 Dividi ogni fattore un{ stile di visualizzazione a} per ogni fattore D{ stile di visualizzazione d}. Di conseguenza, ottieni molte frazioni e diversi numeri interi; le radici dell'equazione cubica saranno uno degli interi o il valore negativo di uno degli interi.
   • Nel nostro esempio, dividi i fattori ${ stile di visualizzazione a}$ (1 e 2) per fattori ${ stile di visualizzazione d}$ (1, 2, 3 e 6). Otterrai: ${ stile di visualizzazione 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ stile di visualizzazione 2}$ e ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... Ora aggiungi i valori negativi delle frazioni e dei numeri ottenuti a questo elenco: ${ stile di visualizzazione 1}$, ${ stile di visualizzazione -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ stile di visualizzazione 2}$, ${ stile di visualizzazione -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ e ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... Le radici intere dell'equazione cubica sono alcuni numeri di questa lista.
4. 4 Inserisci i numeri interi nell'equazione cubica. Se l'uguaglianza è vera, il numero sostituito è la radice dell'equazione. Ad esempio, sostituisci nell'equazione ${ stile di visualizzazione 1}$:
   • ${ stile di visualizzazione 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ stile di visualizzazione 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, cioè non si osserva l'uguaglianza. In questo caso, inserire il numero successivo.
   • Sostituire ${ stile di visualizzazione -1}$: ${ stile di visualizzazione (-2) +9 + (- 13) +6}$ = 0. Quindi, ${ stile di visualizzazione -1}$ è la radice intera dell'equazione.
5. 5 Usa il metodo di divisione dei polinomi per Lo schema di Hornerper trovare più velocemente le radici dell'equazione. Fallo se non vuoi sostituire manualmente i numeri nell'equazione. Nello schema di Horner, gli interi sono divisi per i valori dei coefficienti dell'equazione ${ stile di visualizzazione a}$, ${ stile di visualizzazione b}$, ${ stile di visualizzazione c}$ e ${ stile di visualizzazione d}$... Se i numeri sono equamente divisibili (cioè, il resto è ${ stile di visualizzazione 0}$), un intero è la radice dell'equazione.
   • Lo schema di Horner merita un articolo a parte, ma quello che segue è un esempio di calcolo di una delle radici della nostra equazione cubica utilizzando questo schema:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Quindi il resto è ${ stile di visualizzazione 0}$, ma ${ stile di visualizzazione -1}$ è una delle radici dell'equazione.

Metodo 3 di 3: Come risolvere un'equazione usando il discriminante

1. 1 Annota i valori dei coefficienti dell'equazione un{ stile di visualizzazione a}, B{ stile di visualizzazione b}, C{ stile di visualizzazione c} e D{ stile di visualizzazione d}. Ti consigliamo di annotare in anticipo i valori dei coefficienti indicati per non confonderti in futuro.
   • Ad esempio, data l'equazione ${ stile di visualizzazione x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$... Scrivi ${ stile di visualizzazione a = 1}$, ${ stile di visualizzazione b = -3}$, ${ stile di visualizzazione c = 3}$ e ${ stile di visualizzazione d = -1}$... Ricordalo se prima ${ stile di visualizzazione x}$ non c'è numero, il coefficiente corrispondente esiste ancora ed è uguale a ${ stile di visualizzazione 1}$.
2. 2 Calcola il discriminante zero usando una formula speciale. Per risolvere un'equazione cubica usando il discriminante, è necessario eseguire una serie di calcoli difficili, ma se esegui correttamente tutti i passaggi, questo metodo diventerà indispensabile per risolvere le equazioni cubiche più complesse. Primo calcolo ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (zero discriminante) è il primo valore di cui abbiamo bisogno; per fare ciò, sostituisci i valori corrispondenti nella formula ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Il discriminante è un numero che caratterizza le radici di un polinomio (ad esempio, il discriminante di un'equazione di secondo grado è calcolato dalla formula ${ stile di visualizzazione b ^ {2} -4ac}$).
   • Nella nostra equazione:

     ${ stile di visualizzazione b ^ {2} -3ac}$

     ${ stile di visualizzazione (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ stile di visualizzazione 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Calcola il primo discriminante usando la formula Δ1=2B3−9unBC+27un2D{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. Prima discriminante ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - questo è il secondo valore importante; per calcolarlo, inserisci i valori corrispondenti nella formula specificata.
   • Nella nostra equazione:

     ${ stile di visualizzazione 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ stile di visualizzazione 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ stile di visualizzazione -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Calcolare:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... Cioè, trova il discriminante dell'equazione cubica attraverso i valori ottenuti ${ displaystyle Delta _ {0}}$ e ${ displaystyle Delta _ {1}}$... Se il discriminante di un'equazione cubica è positivo, l'equazione ha tre radici; se il discriminante è zero, l'equazione ha una o due radici; se il discriminante è negativo, l'equazione ha una radice.
   • Un'equazione cubica ha sempre almeno una radice, poiché il grafico di questa equazione interseca l'asse X almeno in un punto.
   • Nella nostra equazione ${ displaystyle Delta _ {0}}$ e ${ displaystyle Delta _ {1}}$ sono uguali ${ stile di visualizzazione 0}$, così puoi facilmente calcolare ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... Quindi, la nostra equazione ha una o due radici.

5. 5 Calcolare:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { left ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } destra) div 2}}}$. ${ stile di visualizzazione C}$ - questa è l'ultima grandezza importante da trovare; ti aiuterà a calcolare le radici dell'equazione. Sostituisci i valori nella formula specificata ${ displaystyle Delta _ {1}}$ e ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • Nella nostra equazione:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ stile di visualizzazione 0 = C}$

6. 6 Trova tre radici dell'equazione. Fallo con la formula ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, dove ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, ma n è uguale a 1, 2 o 3... Sostituisci i valori appropriati in questa formula: di conseguenza, otterrai tre radici dell'equazione.
   • Calcola il valore usando la formula a n = 1, 2 o 3e poi controlla la risposta. Se ottieni 0 quando controlli la tua risposta, questo valore è la radice dell'equazione.
   • Nel nostro esempio, sostituisci 1 in ${ stile di visualizzazione x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$ e prendi 0, cioè 1 è una delle radici dell'equazione.