Contenuto

• Passi

Un'equazione trigonometrica contiene una o più funzioni trigonometriche della variabile "x" (o qualsiasi altra variabile). Risolvere un'equazione trigonometrica è trovare un tale valore "x" che soddisfi la funzione (i) e l'equazione nel suo insieme.

• Le soluzioni delle equazioni trigonometriche sono espresse in gradi o radianti. Esempi:

x = / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 gradi; x = 37,12 gradi; x = 178,37 gradi.

• Nota: i valori delle funzioni trigonometriche dagli angoli, espressi in radianti, e dagli angoli, espressi in gradi, sono uguali. Un cerchio trigonometrico con raggio uguale a uno viene utilizzato per descrivere le funzioni trigonometriche, nonché per verificare la correttezza della soluzione delle equazioni e delle disuguaglianze trigonometriche di base.
• Esempi di equazioni trigonometriche:
  • peccato x + peccato 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Un cerchio trigonometrico con raggio uno (cerchio unitario).
   • È un cerchio con raggio uguale a uno e centro nel punto O. Il cerchio unitario descrive 4 funzioni trigonometriche di base della variabile "x", dove "x" è l'angolo misurato dalla direzione positiva dell'asse X in senso antiorario.
   • Se "x" è un angolo sul cerchio unitario, allora:
   • L'asse orizzontale OAx definisce la funzione F (x) = cos x.
   • L'asse verticale OBy definisce la funzione F (x) = sin x.
   • L'asse verticale AT definisce la funzione F (x) = tan x.
   • L'asse orizzontale BU definisce la funzione F (x) = ctg x.

• Il cerchio unitario viene anche utilizzato per risolvere equazioni e disuguaglianze trigonometriche di base (su di esso vengono considerate diverse posizioni di "x").

Passi

1. 1 Il concetto di risoluzione di equazioni trigonometriche.
   • Per risolvere un'equazione trigonometrica, convertirla in una o più equazioni trigonometriche di base. Risolvere un'equazione trigonometrica alla fine si riduce a risolvere quattro equazioni trigonometriche di base.
2. 2 Risoluzione di equazioni trigonometriche di base.
   • Esistono 4 tipi di equazioni trigonometriche di base:
   • peccato x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • La risoluzione di equazioni trigonometriche di base implica l'osservazione delle diverse posizioni x sul cerchio unitario e l'utilizzo di una tabella di conversione (o calcolatrice).
   • Esempio 1.sin x = 0,866. Usando una tabella di conversione (o calcolatrice), ottieni la risposta: x = π / 3. Il cerchio unitario dà un'altra risposta: 2π / 3. Ricorda: tutte le funzioni trigonometriche sono periodiche, ovvero i loro valori vengono ripetuti. Ad esempio, la periodicità di sin x e cos x è 2πn e la periodicità di tg x e ​​ctg x è πn. Pertanto, la risposta è scritta come segue:
   • x1 = / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Esempio 2.cos x = -1/2. Usando una tabella di conversione (o calcolatrice), ottieni la risposta: x = 2π / 3. Il cerchio unitario dà un'altra risposta: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Esempio 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Risposta: x = π / 4 + πn.
   • Esempio 4. ctg 2x = 1.732.
   • Risposta: x = π / 12 + πn.
3. 3 Trasformazioni utilizzate per risolvere equazioni trigonometriche.
   • Per trasformare le equazioni trigonometriche vengono utilizzate trasformazioni algebriche (fattorizzazione, riduzione di termini omogenei, ecc.) e identità trigonometriche.
   • Esempio 5. Utilizzando le identità trigonometriche, l'equazione sin x + sin 2x + sin 3x = 0 viene trasformata nell'equazione 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Pertanto, è necessario risolvere le seguenti equazioni trigonometriche di base: cos x = 0; peccato (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Trovare angoli da valori noti di funzioni.
   • Prima di apprendere i metodi per risolvere le equazioni trigonometriche, è necessario imparare a trovare gli angoli dai valori noti delle funzioni. Questo può essere fatto utilizzando una tabella di conversione o una calcolatrice.
   • Esempio: cos x = 0,732. La calcolatrice darà la risposta x = 42,95 gradi. Il cerchio unitario darà angoli aggiuntivi, il cui coseno è anche 0,732.
5. 5 Metti da parte la soluzione sul cerchio unitario.
   • È possibile rinviare le soluzioni dell'equazione trigonometrica sul cerchio unitario. Le soluzioni dell'equazione trigonometrica sulla circonferenza unitaria sono i vertici di un poligono regolare.
   • Esempio: le soluzioni x = π / 3 + πn / 2 sulla circonferenza unitaria sono i vertici di un quadrato.
   • Esempio: le soluzioni x = π / 4 + πn / 3 sulla circonferenza unitaria rappresentano i vertici di un esagono regolare.
6. 6 Metodi per risolvere equazioni trigonometriche.
   • Se una data equazione trigonometrica contiene solo una funzione trigonometrica, risolvi quell'equazione come equazione trigonometrica di base.Se una data equazione include due o più funzioni trigonometriche, esistono 2 metodi per risolvere tale equazione (a seconda della possibilità della sua trasformazione).
     • Metodo 1.
   • Converti questa equazione in un'equazione della forma: f (x) * g (x) * h (x) = 0, dove f (x), g (x), h (x) sono le equazioni trigonometriche di base.
     
     
   • Esempio 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Soluzione. Usando la formula del doppio angolo sin 2x = 2 * sin x * cos x, sostituisci sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Ora risolvi le due equazioni trigonometriche di base: cos x = 0 e (sin x + 1) = 0.
   • Esempio 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Soluzione: utilizzando le identità trigonometriche, trasforma questa equazione in un'equazione della forma: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Ora risolvi le due equazioni trigonometriche di base: cos 2x = 0 e (2cos x + 1) = 0.
   • Esempio 8.sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Soluzione: utilizzando le identità trigonometriche, trasforma questa equazione in un'equazione della forma: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Ora risolvi le due equazioni trigonometriche di base: cos 2x = 0 e (2sin x + 1) = 0.
     • Metodo 2.
   • Converti l'equazione trigonometrica data in un'equazione contenente una sola funzione trigonometrica. Quindi sostituisci questa funzione trigonometrica con un'incognita, ad esempio t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, ecc.).
   • Esempio 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Soluzione. In questa equazione, sostituisci (cos ^ 2 x) con (1 - sin ^ 2 x) (per identità). L'equazione trasformata è:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Sostituisci sin x con t. L'equazione ora ha questo aspetto: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Questa è un'equazione quadratica con due radici: t1 = -1 e t2 = 9/5. La seconda radice t2 non soddisfa l'intervallo di valori della funzione (-1 sin x 1). Ora decidi: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Esempio 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Soluzione. Sostituisci tg x con t. Riscrivi l'equazione originale come segue: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Ora trova t e poi trova x per t = tg x.
7. 7 Equazioni trigonometriche speciali.
   • Esistono diverse equazioni trigonometriche speciali che richiedono trasformazioni specifiche. Esempi:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Periodicità delle funzioni trigonometriche.
   • Come accennato in precedenza, tutte le funzioni trigonometriche sono periodiche, ovvero i loro valori vengono ripetuti dopo un certo periodo. Esempi:
     • Il periodo della funzione f (x) = sin x è 2π.
     • Il periodo della funzione f (x) = tan x è uguale a .
     • Il periodo della funzione f (x) = sin 2x è π.
     • Il periodo della funzione f (x) = cos (x / 2) è 4π.
   • Se il periodo è specificato nel problema, calcolare il valore "x" all'interno di questo periodo.
   • Nota: risolvere equazioni trigonometriche non è un compito facile e spesso porta a errori. Quindi controlla attentamente le tue risposte. Per fare ciò, è possibile utilizzare una calcolatrice grafica per tracciare l'equazione data R (x) = 0. In tali casi, le soluzioni verranno presentate come frazioni decimali (ovvero, viene sostituito da 3,14).