Contenuto

• Passi
• Parte 1 di 3: Comprensione dei quadrati dei numeri e delle radici quadrate
• Parte 2 di 3: utilizzo dell'algoritmo a divisione lunga
• Parte 3 di 3: contare rapidamente i quadrati incompleti
• Consigli

Mentre l'aspetto intimidatorio del simbolo della radice quadrata può far rabbrividire qualcuno che non è bravo in matematica, i problemi della radice quadrata non sono così difficili come potrebbero sembrare inizialmente. Semplici problemi di radice quadrata possono spesso essere risolti con la stessa facilità dei comuni problemi di moltiplicazione o divisione. D'altra parte, compiti più complessi possono richiedere un certo sforzo, ma con il giusto approccio, anche loro non saranno difficili per te. Inizia oggi a risolvere le radici per imparare questa abilità matematica radicalmente nuova!

Passi

Parte 1 di 3: Comprensione dei quadrati dei numeri e delle radici quadrate

1. 1 Eleva al quadrato il numero moltiplicandolo per se stesso. Per capire le radici quadrate, è meglio iniziare con il quadrato dei numeri. La quadratura dei numeri è piuttosto semplice: elevare al quadrato un numero significa moltiplicarlo per se stesso. Ad esempio, 3 al quadrato equivale a 3 × 3 = 9 e 9 al quadrato equivale a 9 × 9 = 81. I quadrati sono contrassegnati scrivendo il piccolo numero "2" a destra sopra il numero quadrato. Esempio: 3, 9, 100 e così via.
   • Prova tu stesso a quadrare qualche numero in più per provare questo concetto. Ricorda, elevare al quadrato un numero significa che il numero deve essere moltiplicato per se stesso. Questo può essere fatto anche per i numeri negativi. In questo caso, il risultato sarà sempre positivo. Ad esempio: -8 = -8 × -8 = 64.
2. 2 Quando si tratta di radici quadrate, il processo è invertito alla quadratura. Il simbolo della radice (√, chiamato anche radicale) significa essenzialmente l'opposto del simbolo. Quando vedi un radicale, devi chiederti: "Quale numero può moltiplicarsi per se stesso per ottenere il numero sotto la radice?" Ad esempio, se vedi √ (9), devi trovare un numero che, al quadrato, dia il numero nove. Nel nostro caso, quel numero sarebbe tre, perché 3 = 9.
   • Considera un altro esempio e trova la radice di 25 (√ (25)). Ciò significa che dobbiamo trovare un numero che ci dia 25 al quadrato. Poiché 5 = 5 × 5 = 25, possiamo dire che √ (25) = 5.
   • Puoi anche pensare a questo come a "annullare" la quadratura. Ad esempio, se dobbiamo trovare √ (64), la radice quadrata di 64, allora pensiamo a questo numero come 8. Poiché il simbolo della radice "cancella" la quadratura, possiamo dire che √ (64) = √ ( 8 ) = 8.
3. 3 Conoscere la differenza tra quadratura perfetta e non perfetta. Fino ad ora, le risposte ai nostri problemi con il root sono state buone e numeri rotondi, ma non è sempre così. Le risposte ai problemi con la radice quadrata possono essere numeri decimali molto lunghi e scomodi. I numeri la cui radice è numeri interi (in altre parole, numeri che non sono frazioni) sono chiamati quadrati perfetti. Tutti gli esempi precedenti (9, 25 e 64) sono quadrati perfetti perché la loro radice sarà un numero intero (3,5 e 8).
   • D'altra parte, i numeri che, portati alla radice, non danno un intero, sono chiamati quadrati incompleti. Se metti uno di questi numeri sotto la radice, ottieni un numero con una frazione decimale. A volte questo numero può essere piuttosto lungo. Ad esempio, √ (13) = 3,605551275464 ...
4. 4 Memorizza i primi 1-12 quadrati completi. Come probabilmente avrai già notato, trovare la radice di un quadrato completo è piuttosto semplice! Poiché questi compiti sono così facili, vale la pena ricordare le radici della prima dozzina di quadrati completi. Ti imbatterai in questi numeri più di una volta, quindi prenditi un po' di tempo per memorizzarli in anticipo e risparmiare tempo in futuro.
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144
5. 5 Semplifica le radici rimuovendo i quadrati interi da esso, se possibile. Trovare la radice di un quadrato incompleto a volte può essere complicato, specialmente se non stai usando una calcolatrice (vedi la sezione seguente per alcuni trucchi per rendere più facile questo processo). Tuttavia, spesso puoi semplificare il numero sotto la radice per semplificare il lavoro. Per fare ciò, devi solo fattorizzare il numero sotto la radice, quindi trovare la radice del fattore, che è un quadrato perfetto, e scriverlo fuori dalla radice. Questo è più facile di quanto sembri.Continua a leggere per ulteriori informazioni.
   • Diciamo che dobbiamo trovare la radice quadrata di 900. A prima vista, questo sembra un compito piuttosto arduo! Tuttavia, non sarà così difficile se dividiamo il numero 900 per fattori. I moltiplicatori sono numeri che vengono moltiplicati tra loro per ottenere un nuovo numero. Ad esempio, il numero 6 può essere ottenuto moltiplicando 1 × 6 e 2 × 3, i suoi fattori saranno i numeri 1, 2, 3 e 6.
   • Invece di cercare la radice di 900, che è un po' complicato, scriviamo 900 come 9 × 100. Ora che 9, che è un quadrato perfetto, è separato da 100, possiamo trovare la sua radice. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). In altre parole, √ (900) = 3√ (100).
   • Possiamo anche andare oltre dividendo 100 per due fattori, 25 e 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Quindi possiamo dire, che √ (900) = 3 (10) = 30
6. 6 Usa i numeri immaginari per trovare la radice di un numero negativo. Chiediti, quale numero moltiplicato per se stesso darà -16? Non è 4 o -4, poiché elevare al quadrato quei numeri ci darà un numero 16 positivo. Rinunciare? In effetti, non c'è modo di scrivere la radice -16 o qualsiasi altro numero negativo nei numeri normali. In questo caso, dobbiamo sostituire i numeri immaginari (di solito sotto forma di lettere o simboli) in modo che appaiano al posto della radice di un numero negativo. Ad esempio, la variabile "i" viene solitamente utilizzata per la radice -1. In genere, la radice di un numero negativo sarà sempre il numero immaginario (o incluso in esso).
   • Tieni presente che sebbene i numeri immaginari non possano essere rappresentati da numeri ordinari, possono comunque essere trattati come tali. Ad esempio, la radice quadrata di un numero negativo può essere elevata al quadrato per dare a questi numeri negativi, come qualsiasi altro, la radice quadrata. Ad esempio, io = -1

Parte 2 di 3: utilizzo dell'algoritmo a divisione lunga

1. 1 Annota il problema con la radice come un problema di divisione lunga. Anche se questo può richiedere molto tempo, in questo modo puoi risolvere il problema della radice quadrata incompleta senza ricorrere a una calcolatrice. Per fare ciò, utilizzeremo un metodo di soluzione (o algoritmo) simile (ma non esattamente uguale) alla divisione lunga regolare.
   • Innanzitutto, scrivi il problema con la radice nella stessa forma della divisione lunga. Supponiamo di voler trovare la radice quadrata di 6.45, che non è esattamente un quadrato perfetto. Per prima cosa, scriveremo il solito simbolo quadrato, quindi scriveremo un numero sotto di esso. Successivamente, disegneremo una linea sopra il numero in modo che appaia in una piccola "scatola", proprio come nella divisione lunga. Dopodiché abbiamo una radice con una coda lunga e un numero 6,45 sotto di essa.
   • Scriveremo i numeri sopra la radice, quindi assicurati di lasciare un po' di spazio lì.
2. 2 Raggruppa i numeri a coppie. Per iniziare a risolvere il problema, è necessario raggruppare a coppie le cifre del numero sotto il radicale, iniziando con un punto decimale. Se vuoi, puoi fare dei piccoli segni (come punti, linee oblique, virgole, ecc.) tra le coppie per evitare confusione.
   • Nel nostro esempio, dobbiamo accoppiare il numero 6.45 come segue: 6-, 45-00. Nota che c'è una cifra "rimanente" a sinistra - questo è normale.
3. 3 Trova il numero più grande il cui quadrato è minore o uguale al primo "gruppo". Inizia con il primo numero o coppia a sinistra. Scegli il numero più grande il cui quadrato è minore o uguale al restante "gruppo". Ad esempio, se il gruppo fosse 37, sceglieresti il ​​numero 6 perché 6 = 36 37 e 7 = 49> 37. Scrivi questo numero sopra il primo gruppo. Questo sarà il primo numero nella tua risposta.
   • Nel nostro esempio, il primo gruppo a 6-, 45-00 sarà il numero 6. Il numero più grande che è minore o uguale a 6 nel quadrato è 2 = 4. Scrivi il numero 2 sopra il numero 6 sotto la radice .
4. 4 Raddoppia il numero che hai appena scritto, quindi radicalo e sottrailo. Prendi la prima cifra della tua risposta (il numero che hai appena trovato) e raddoppiala. Scrivi il risultato sotto il tuo primo gruppo e sottrai per trovare la differenza. Trascina il prossimo paio di numeri accanto alla risposta. Infine, scrivi a sinistra l'ultima doppia cifra della prima cifra della tua risposta e lascia uno spazio accanto ad essa.
   • Nel nostro esempio, inizieremo raddoppiando il numero 2, che è il primo numero nella nostra risposta. 2 × 2 = 4.Quindi sottraiamo 4 da 6 (il nostro primo "gruppo"), ottenendo 2. Quindi omettiamo il gruppo successivo (45) per ottenere 245. E infine, a sinistra, scriveremo di nuovo il numero 4, lasciando un piccolo spazio a alla fine, qui così: 4_
5. 5 Si prega di compilare lo spazio vuoto. Quindi è necessario aggiungere una cifra a destra del numero registrato, che si trova a sinistra. Scegli una cifra, moltiplicandola con il tuo nuovo numero, otterresti il ​​risultato più grande possibile, ma che sarebbe minore o uguale al numero "omesso". Ad esempio, se il tuo numero "omesso" è 1700, e il tuo numero a sinistra è 40_, devi scrivere il numero 4 nello spazio, poiché 404 × 4 = 1616 1700, mentre 405 × 5 = 2025. La cifra trovata in questo passaggio e sarà la seconda cifra della tua risposta, quindi puoi scriverla sopra il segno della radice.
   • Nel nostro esempio, dobbiamo trovare un numero e scriverlo negli spazi 4_ × _, il che renderà la risposta il più grande possibile, ma comunque minore o uguale a 245. Nel nostro caso, è 5. 45 × 5 = 225, mentre 46 × 6 = 276
6. 6 Continua a utilizzare i numeri vuoti per trovare la risposta. Continua a risolvere questa divisione lunga modificata finché non inizi a ottenere zeri quando sottrai il numero "omesso" o finché non ottieni il livello di precisione desiderato. Quando hai finito, i numeri che hai usato per riempire gli spazi vuoti in ogni passaggio (più il primo numero) formeranno il numero nella tua risposta.
   • Continuando con il nostro esempio, sottraiamo 225 da 245 per ottenere 20. Quindi, eliminiamo la coppia di numeri successiva, 00, per ottenere 2000. Raddoppia il numero sopra il segno della radice. Otteniamo 25 × 2 = 50. Risolvendo l'esempio con spazi, 50_ × _ = / 2.000, otteniamo 3. A questo punto, avremo scritto 253 sopra il radicale e, ripetendo di nuovo questo processo, il nostro prossimo numero sarà 9 .
7. 7 Sposta la virgola in avanti rispetto al numero del dividendo originale. Per completare la tua risposta, devi inserire la virgola nella posizione corretta. Fortunatamente, questo è abbastanza facile da fare. Tutto quello che devi fare è allinearlo con il punto numerico originale. Ad esempio, se il numero 49,8 è sotto la radice, dovrai mettere un punto tra i due numeri sopra il nove e l'otto.
   • Nel nostro esempio, c'è 6,45 sotto il radicale, quindi spostiamo semplicemente il punto e lo mettiamo tra i numeri 2 e 5 nella nostra risposta e otteniamo la risposta uguale a 2,539.

Parte 3 di 3: contare rapidamente i quadrati incompleti

1. 1 Trova i quadrati incompleti contandoli. Una volta che hai memorizzato i quadrati completi, trovare la radice dei quadrati incompleti diventa molto più facile. Poiché conosci già una dozzina di quadrati perfetti, qualsiasi numero che rientri nell'area tra questi due quadrati completi può essere trovato riducendo tutto a un conteggio approssimativo tra questi valori. Inizia trovando due quadrati completi con il tuo numero in mezzo. Quindi determina a quale di questi numeri è più vicino il tuo numero.
   • Ad esempio, supponiamo di dover trovare la radice quadrata di 40. Poiché abbiamo memorizzato i quadrati perfetti, possiamo dire che 40 è compreso tra 6 e 7, oppure 36 e 49. Poiché 40 è maggiore di 6, la sua radice sarà maggiore di 6 , e poiché è minore di 7, anche la sua radice sarà minore di 7. 40 è leggermente più vicino a 36 che a 49, quindi è probabile che la risposta sia leggermente più vicina a 6. Nei prossimi passaggi, restringeremo il nostro Rispondere.
2. 2 Conta la radice quadrata fino alla prima cifra decimale. Dopo aver selezionato due quadrati completi tra i quali si trova il tuo numero, tutto si riduce al tuo conteggio fino a quando non ottieni la risposta che desideri. Più conti, più precisa sarà la tua risposta. Inizia scegliendo dove inserire la virgola nella risposta. Non deve essere corretto, ma ti farà risparmiare tempo se usi la logica e metti fine il più vicino possibile alla risposta corretta.
   • Nel nostro esempio, una stima ragionevole della radice quadrata di 40 potrebbe essere 6,4, poiché dalle informazioni di cui sopra sappiamo che la risposta è più vicina a 6 che a 7.
3. 3 Moltiplica il numero approssimativo per se stesso. La prossima cosa che dovresti fare è elevare al quadrato il numero approssimativo. Molto probabilmente sarai sfortunato e non riceverai il numero originale. Sarà leggermente più grande o leggermente più piccolo.Se il risultato è troppo alto, riprova, ma con una stima leggermente inferiore (e viceversa se il risultato è troppo basso).
   • Moltiplica 6,4 per se stesso e ottieni 6,4 x 6,4 = 40,96, che è leggermente superiore al numero originale.
   • Poiché la nostra risposta si è rivelata più grande, dovremmo moltiplicare il numero per un decimo in meno per l'approssimato e ottenere quanto segue: 6,3 × 6,3 = 39,69. Questo è leggermente inferiore al numero originale. Ciò significa che la radice quadrata di 40 è compresa tra 6,3 e 6,4. Di nuovo, poiché 39,69 è più vicino a 40 che a 40,96, sappiamo che la radice quadrata sarà più vicina a 6,3 che a 6,4.
4. 4 Continua a calcolare. A questo punto, se sei soddisfatto della tua risposta, puoi semplicemente fare la prima ipotesi che indovini. Tuttavia, se desideri una risposta più accurata, tutto ciò che devi fare è scegliere un valore approssimativo con due cifre decimali che metta quel valore approssimativo tra i primi due numeri. Continuando questo conteggio, puoi ottenere tre, quattro o più cifre decimali per la tua risposta. Tutto dipende da quanto lontano vuoi andare.
   • Per il nostro esempio, scegliamo 6.33 come valore approssimativo con due cifre decimali. Moltiplica 6,33 per se stesso per ottenere 6,33 × 6,33 = 40,0689. poiché questo è leggermente più grande del nostro numero, prenderemo un numero più piccolo, ad esempio 6,32. 6,32 × 6,32 = 39,9424. Questa risposta è leggermente inferiore al nostro numero, quindi sappiamo che la radice quadrata esatta è compresa tra 6,32 e 6,33. Se volessimo continuare, continueremmo a utilizzare lo stesso approccio per ottenere una risposta sempre più precisa.

Consigli

• Per trovare rapidamente una soluzione, usa la calcolatrice. La maggior parte dei calcolatori moderni può trovare istantaneamente la radice quadrata di un numero. Tutto quello che devi fare è inserire il tuo numero e quindi fare clic sul pulsante root. Ad esempio, per trovare la radice 841, dovresti premere 8, 4, 1 e (√). Di conseguenza, riceverai una risposta di 39.