Contenuto

• Al passo
• Suggerimenti

Come un grafico vedi un'equazione quadratica ascia + bx + c , anch'esso scritto come a (x - h) + k, sembra una curva morbida a forma di U. Lo chiamiamo questo parabola. Rappresentare graficamente un'equazione quadratica implica trovare il vertice, la direzione e spesso i punti di intersezione con l'asse xe l'asse y. Nel caso dell'equazione quadratica relativamente semplice, può anche essere sufficiente inserire un numero di valori per x per indicare questi punti nel sistema di coordinate, dopodiché è possibile tracciare la parabola. Continua al passaggio 1 per iniziare.

Al passo

1. Determina che tipo di equazione di secondo grado hai. Può essere scritto in due modi: la notazione standard e la notazione del vertice (un altro modo per scrivere la formula della radice quadrata). È possibile utilizzare entrambi per creare un grafico di un'equazione quadratica, ma il processo è leggermente diverso in ogni caso. La maggior parte delle volte incontrerai la forma standard, ma di certo non fa male imparare a usare entrambe le forme. Le due forme di un'equazione quadratica sono:
   • La forma standard. L'equazione quadratica è annotata come: f (x) = ax + bx + c dove a, bec sono numeri reali e a non è uguale a zero.
     • Due esempi di equazioni quadratiche standard: f (x) = x + 2x + 1 e f (x) = 9x + 10x -8.
   • La forma del vertice. L'equazione quadratica è annotata come: f (x) = a (x - h) + k dove a, hek sono numeri reali e a non è uguale a zero. Questa forma è chiamata vertice perché hek si riferiscono direttamente alla parte superiore della parabola nel punto (h, k).
     • Due esempi di equazioni della forma dei vertici sono f (x) = 9 (x - 4) + 18 e -3 (x - 5) + 1
   • Per creare un grafico di queste equazioni, determiniamo prima la parte superiore (h, k) del grafico. Nell'equazione standard troverai questo tramite: h = -b / 2a e k = f (h), mentre questo è già dato in forma di vertice perché hek sono presenti nell'equazione.
2. Determina le tue variabili. Per risolvere un'equazione quadratica è solitamente necessario determinare le variabili a, b e c (oppure a, he k). Un esercizio regolare ti darà un'equazione di secondo grado nella forma standard, ma potrebbe anche verificarsi la notazione del vertice.
   • Ad esempio: la funzione standard f (x) = 2x + 16x + 39. Qui abbiamo a = 2, b = 16 e c = 39.
   • Nella notazione dei vertici: f (x) = 4 (x - 5) + 12. Qui abbiamo a = 4, h = 5 e k = 12.
3. Calcola h. Nella notazione dei vertici, il valore di h è già dato, ma nella notazione standard questo valore deve ancora essere calcolato. Ricorda che con l'equazione standard vale: h = -b / 2a.
   • Esempio 1. (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Risolvendo questo vediamo che h = -4.
   • Esempio 2. (f (x) = 4 (x - 5) + 12), vediamo immediatamente che h = 5.
4. Calcola k. Come con h, k è già noto dalle equazioni della forma dei vertici. Per le equazioni in notazione standard, ricorda che k = f (h). In altre parole, puoi trovare k sostituendo qualsiasi variabile x con il valore di h.
   • Abbiamo visto per esempio 1 che h = -4. Per trovare k, risolviamo questa equazione inserendo questo valore di h nell'equazione, per la variabile x:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32-64 + 39 = 7
   • Dall'esempio 2 sappiamo che il valore di k è uguale a 12, senza bisogno di alcun calcolo.
5. Disegna la parte superiore o inferiore del grafico. L'apice o la valle della tua parabola è il punto (h, k) - h sta per la coordinata x e k sta per la coordinata y. Il vertice è il centro della tua parabola - il punto più alto o più basso, il vertice o la valle, di un grafico a forma di "U" o viceversa.Essere in grado di determinare la parte superiore di una parabola è una parte essenziale per disegnare un grafico corretto: spesso determinare la parte superiore di una parabola fa parte di un problema di matematica a scuola.
   • Nell'esempio 1, la parte superiore del grafico è (-4,7). Disegna il punto sul grafico e assicurati di assegnare un nome corretto alle coordinate.
   • Nell'esempio 2, la parte superiore è (5.12). Quindi dal punto (0,0) vai 5 posti a destra e poi su 12.
6. Se necessario, disegna l'asse di simmetria della parabola. L'asse di simmetria di una parabola è la linea che interseca la figura al centro, dividendola esattamente a metà. Un lato del grafico viene specchiato lungo questa linea nell'altro lato del grafico. Nelle equazioni quadratiche di ax + bx + c o a (x - h) + k, questo asse è la linea parallela all'asse y che passa per l'apice della parabola.
   • Nel caso dell'esempio 1, l'asse di simmetria è la linea parallela all'asse y e passa per il punto (-4,7). Sebbene non faccia parte della parabola stessa, evidenziare leggermente questa linea guida può mostrare quanto sia simmetrica la curva della parabola.
7. Determina la direzione della parabola. Dopo aver scoperto qual è la parte superiore della parabola, è necessario sapere se hai a che fare con una parabola di montagna o di valle, cioè se l'apertura è in basso o in alto. Fortunatamente, questo è molto semplice. Se "a" è positivo, hai a che fare con una parabola di valle; se "a" è negativo è una parabola montuosa (con l'apertura in basso)
   • Nell'esempio 1 abbiamo a che fare con la funzione (f (x) = 2x + 16x + 39), quindi questa è una parabola a valle, perché a = 2 (positivo).
   • Nell'esempio 2 abbiamo a che fare con la funzione f (x) = 4 (x - 5) + 12), e anche questa è una parabola a valle perché a = 4 (positiva).
8. Determinare i punti di intersezione della parabola, se necessario. Spesso quando viene chiesto a un problema di matematica di fornire le intersezioni della parabola con l'asse x (queste sono "zero", un o Due punti in cui la parabola interseca o colpisce l'asse x). Anche se non richiesti, questi punti sono molto importanti per poter disegnare un grafico accurato. Ma non tutte le parabole hanno un'intersezione con l'asse x. Se hai a che fare con una parabola di valle e il punto di valle si trova sopra l'asse x o, nel caso di una parabola di montagna, appena sotto l'asse x, semplicemente non ci sono punti di intersezione da trovare. In tal caso, utilizza uno dei seguenti metodi:
   • Determina che f (x) = 0 e risolvi l'equazione. Questo metodo può funzionare per semplici equazioni quadratiche, specialmente nella forma dei vertici, ma scoprirai che questo diventa sempre più difficile man mano che le funzioni diventano più complesse. Di seguito sono riportati alcuni esempi.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 e 13 sono i punti di intersezione con l'asse x della parabola.
   • Fattorizza l'equazione. Alcune equazioni nella forma ax + bx + c possono essere facilmente riscritte come (dx + e) ​​(fx + g), dove dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx ed e × g = c. In questo caso, le intersezioni x sono i valori di x dove ogni termine tra parentesi diventa uguale a 0. Ad esempio:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • In questo caso il punto di intersezione è -1 perché, inserito in entrambi i fattori, questo restituisce zero.
   • Usa la formula abc. Se non è facile calcolare le intersezioni o fattorizzare l'equazione, utilizzare la "formula abc" specifica per questo scopo. Assumi un'equazione nella forma ax + bx + c. Quindi inserisci i valori di a, be c, nella formula x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a. Nota che questo spesso ti dà due risposte per x, il che va bene - significa solo che la tua parabola ha due intersezioni con l'asse x. Ecco un esempio:
     • Immettere -5x + 1x + 10 nell'equazione nel modo seguente:
     • x = (-1 +/- SqRt (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) e (-15,18 / -10). I punti di intersezione della parabola con l'asse x sono approssimativamente x = -1,318 e 1,518
     • Come nell'esempio 1 con l'equazione 2x + 16x + 39, questo sarà simile a questo:
     • x = (-16 +/- SqRt (16-4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • Poiché non è possibile trovare la radice quadrata di un numero negativo, sappiamo che non ci sono punti di intersezione con l'asse x per questa particolare parabola.
9. Se necessario, determinare l'intersezione della parabola con l'asse y. Spesso non è necessario, ma a volte richiesto per trovare questo incrocio, ad esempio per un problema di matematica. Questo è abbastanza semplice: imposta il valore di x su 0 e risolvi l'equazione per f (x) o y, che ti dà il valore y del punto in cui la parabola si interseca con l'asse y. La differenza con i punti di intersezione attraverso l'asse x è che sull'asse y c'è sempre un solo punto di intersezione. Nota: con le equazioni standard, l'intersezione con l'asse y è in y = c.
   • Ad esempio, sappiamo che la nostra equazione quadratica 2x + 16x + 39 ha un'intersezione y = 39, ma possiamo anche trovarla come segue:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. L'intersezione della parabola con l'asse y: y = 39. Come indicato sopra, possiamo facilmente leggere il punto di intersezione perché y = c.
   • L'equazione 4 (x - 5) + 12 ha un'intersezione con l'asse y che può essere trovata come segue:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0-5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. L'intersezione con l'asse y: y = 112.
10. Se ritieni che sia necessario, disegna prima punti extra e poi l'intero grafico. Ora dovresti avere una cima o una valle, una direzione, punti di intersezione con l'asse xe possibilmente con l'asse y della tua equazione. Da questo punto puoi provare a disegnare la parabola usando questi punti oppure puoi provare a trovare più punti per rendere il grafico più preciso. Il modo più semplice per farlo è semplicemente inserire un numero di valori x, che restituirà un numero di valori y. Spesso ti verrà chiesto (dall'insegnante) di calcolare un numero di punti prima di poter iniziare a disegnare la parabola.
    • Diamo un'altra occhiata all'equazione x + 2x + 1. Sappiamo già che l'unica intersezione con l'asse x è (-1,0). Poiché tocca solo l'asse x in questo punto, possiamo dedurre che la parte superiore del grafico è uguale a questo punto. Finora abbiamo solo un punto di questa parabola, non abbastanza per disegnare un grafico. Troviamo qualche altro punto per assicurarci di avere più valori.
      • Proviamo a trovare i valori y che corrispondono ai seguenti valori x: 0, 1, -2 e -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Quindi il punto (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Quindi il punto (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Quindi il punto (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Quindi il punto (-3,4).
      • Posiziona questi punti nel grafico e disegna la tua parabola. Nota che la parabola è completamente simmetrica: se conosci i punti su un lato del grafico, di solito puoi risparmiare molto lavoro usando questi punti per trovare i punti sull'altro lato dell'asse di simmetria.

Suggerimenti

• Se necessario, arrotondare i numeri o utilizzare le frazioni. Questo può aiutare a visualizzare correttamente un grafico.
• Nota che se, per la funzione f (x) = ax + bx + c, b o c sono uguali a zero, quei termini scompariranno. Ad esempio, 12x + 0x + 6 diventa uguale a 12x + 6 perché 0x è uguale a 0.