Contenuto

• Al passo
• Parte 1 di 4: elaborazione della matrice
• Parte 2 di 4: apprendimento delle operazioni per risolvere un sistema con una matrice
• Parte 3 di 4: unisci i passaggi per risolvere la galassia
• Parte 4 di 4: verifica della soluzione
• Suggerimenti

Una matrice è un modo molto utile per rappresentare i numeri in un formato a blocchi, che puoi quindi utilizzare per risolvere un sistema di equazioni lineari. Se hai solo due variabili, probabilmente utilizzerai un metodo diverso. Leggi questo in Risolvere un sistema di equazioni per esempi di questi altri metodi. Ma se hai tre o più variabili, un array è l'ideale. Utilizzando combinazioni ripetute di moltiplicazione e addizione, è possibile arrivare sistematicamente a una soluzione.

Al passo

Parte 1 di 4: elaborazione della matrice

1. Verifica di disporre di dati sufficienti. Per ottenere una soluzione univoca per ogni variabile in un sistema lineare utilizzando una matrice, è necessario disporre di tante equazioni quante sono il numero di variabili che si sta tentando di risolvere. Ad esempio: con le variabili x, yez sono necessarie tre equazioni. Se hai quattro variabili, hai bisogno di quattro equazioni.
   • Se hai meno equazioni del numero di variabili, scoprirai alcuni limiti delle variabili (come x = 3y e y = 2z), ma non puoi ottenere una soluzione precisa. Per questo articolo lavoreremo solo per una soluzione unica.
2. Scrivi le tue equazioni nella forma standard. Prima di poter inserire i dati delle equazioni in una matrice, scrivi prima ogni equazione in forma standard. La forma standard per un'equazione lineare è Ax + By + Cz = D, dove le lettere maiuscole sono i coefficienti (numeri) e l'ultimo numero (D in questo esempio) è a destra del segno di uguale.
   • Se hai più variabili, continua la riga per tutto il tempo necessario. Ad esempio, se stavi cercando di risolvere un sistema con sei variabili, la tua forma predefinita sarebbe Au + Bv + Cw + Dx + Ey + Fz = G. In questo articolo ci concentreremo sui sistemi con solo tre variabili. Risolvere una galassia più grande è esattamente lo stesso, ma richiede solo più tempo e più passaggi.
   • Notare che in forma standard, le operazioni tra i termini sono sempre un'aggiunta. Se c'è una sottrazione nella tua equazione, invece di un'addizione, dovrai lavorarci più tardi rendendo il tuo coefficiente negativo. Per renderlo più facile da ricordare, puoi riscrivere l'equazione e aggiungere l'operazione e rendere il coefficiente negativo. Ad esempio, puoi riscrivere l'equazione 3x-2y + 4z = 1 come 3x + (- 2y) + 4z = 1.
3. Posiziona i numeri del sistema di equazioni in una matrice. Una matrice è un gruppo di numeri, disposti in una sorta di tabella, con cui lavoreremo per risolvere il sistema. Fondamentalmente contiene gli stessi dati delle equazioni stesse, ma in un formato più semplice. Per creare la matrice delle tue equazioni in forma standard, copia semplicemente i coefficienti e il risultato di ciascuna equazione in una singola riga e impila le righe una sopra l'altra.
   • Supponiamo di avere un sistema composto dalle tre equazioni 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 e x + y + z = 7. La riga superiore della tua matrice conterrà i numeri 3, 1, -1, 9, poiché questi sono i coefficienti e la soluzione della prima equazione. Si noti che si presume che qualsiasi variabile che non ha un coefficiente abbia un coefficiente di 1. La seconda riga della matrice diventa 2, -2, 1, -3 e la terza riga diventa 1, 1, 1, 7.
   • Assicurati di allineare i coefficienti x nella prima colonna, i coefficienti y nella seconda, i coefficienti z nella terza e i termini della soluzione nella quarta. Quando hai finito di lavorare con la matrice, queste colonne saranno importanti quando scrivi la tua soluzione.
4. Disegna una grande parentesi quadra attorno all'intera matrice. Per convenzione, una matrice è indicata da una coppia di parentesi quadre, [], attorno all'intero blocco di numeri. Le parentesi non influenzano in alcun modo la soluzione, ma indicano che stai lavorando con le matrici. Una matrice può essere costituita da un numero qualsiasi di righe e colonne. In questo articolo, utilizzeremo le parentesi attorno ai termini di seguito per indicare che appartengono insieme.
5. Uso del simbolismo comune. Quando si lavora con le matrici, è comune fare riferimento alle righe con l'abbreviazione R e alle colonne con l'abbreviazione C. È possibile utilizzare numeri insieme a queste lettere per indicare una riga o una colonna specifica. Ad esempio, per indicare la riga 1 di una matrice, puoi scrivere R1. La riga 2 diventa quindi R2.
   • È possibile indicare qualsiasi posizione specifica in una matrice utilizzando una combinazione di R e C. Ad esempio, per indicare un termine nella seconda riga, terza colonna, è possibile chiamarlo R2C3.

Parte 2 di 4: apprendimento delle operazioni per risolvere un sistema con una matrice

1. Comprendi la forma della matrice della soluzione. Prima di iniziare a risolvere il tuo sistema di equazioni, devi capire cosa farai con la matrice. A questo punto hai una matrice simile a questa:
   • 3 1 -1 9
   • 2 -2 1 -3
   • 1 1 1 7
   • Si lavora con una serie di operazioni di base per creare la "matrice della soluzione". La matrice della soluzione sarà simile a questa:
   • 1 0 0 x
   • 0 1 0 a
   • 0 0 1 z
   • Si noti che la matrice è composta da 1 in una linea diagonale con 0 in tutti gli altri spazi tranne la quarta colonna. I numeri nella quarta colonna sono la soluzione per le variabili x, y e z.
2. Usa la moltiplicazione scalare. Il primo strumento a tua disposizione per risolvere un sistema utilizzando una matrice è la moltiplicazione scalare. Questo è semplicemente un termine che significa che moltiplichi gli elementi in una riga della matrice per un numero costante (non una variabile). Quando si utilizza la moltiplicazione scalare, tenere presente che è necessario moltiplicare ogni termine dell'intera riga per qualsiasi numero selezionato. Se dimentichi il primo termine e moltiplichi, otterrai la soluzione sbagliata. Tuttavia, non è necessario moltiplicare l'intera matrice contemporaneamente. Nella moltiplicazione scalare, lavori solo su una riga alla volta.
   • È comune usare le frazioni nella moltiplicazione scalare perché spesso si desidera ottenere una riga diagonale di 1. Abituati a lavorare con le frazioni. Sarà anche più facile (per la maggior parte dei passaggi nella risoluzione della matrice) essere in grado di scrivere le frazioni in una forma impropria, quindi riconvertirle in numeri misti per la soluzione finale. Pertanto, il numero 1 2/3 è più facile da lavorare se lo scrivi come 5/3.
   • Ad esempio, la prima riga (R1) del nostro problema di esempio inizia con i termini [3,1, -1,9]. La matrice della soluzione deve contenere un 1 nella prima posizione della prima riga. Per "cambiare" il 3 in un 1, possiamo moltiplicare l'intera riga per 1/3. Questo crea il nuovo R1 di [1,1 / 3, -1 / 3,3].
   • Assicurati di lasciare eventuali segni negativi al loro posto.
3. Usa l'addizione o la sottrazione di righe. Il secondo strumento che puoi utilizzare è aggiungere o sottrarre due righe della matrice. Per creare i termini 0 nella matrice della soluzione, devi aggiungere o sottrarre numeri per arrivare allo 0. Ad esempio, se R1 è di una matrice [1,4,3,2] e R2 è [1,3,5,8], puoi sottrarre la prima riga dalla seconda riga e creare una nuova riga [0, -1, 2.6], perché 1-1 = 0 (prima colonna), 3-4 = -1 (seconda colonna), 5-3 = 2 (terza colonna) e 8-2 = 6 (quarta colonna). Quando esegui un'addizione o una sottrazione di righe, riscrivi il tuo nuovo risultato invece della riga con cui hai iniziato. In questo caso, estraiamo la riga 2 e inseriamo la nuova riga [0, -1,2,6].
   • Puoi usare una notazione abbreviata e dichiarare questa azione come R2-R1 = [0, -1,2,6].
   • Ricorda che l'addizione e la sottrazione sono solo forme opposte della stessa operazione. Consideralo come l'aggiunta di due numeri o la sottrazione del contrario. Ad esempio, se inizi con la semplice equazione 3-3 = 0, puoi pensare a questo come un problema di addizione di 3 + (- 3) = 0. Il risultato è lo stesso. Sembra semplice, ma a volte è più facile considerare un problema in una forma o nell'altra. Tieni d'occhio i tuoi segni negativi.
4. Combina l'addizione di righe e la moltiplicazione scalare in un unico passaggio. Non puoi aspettarti che i termini corrispondano sempre, quindi puoi utilizzare una semplice addizione o sottrazione per creare 0 nella tua matrice. Più spesso dovrai aggiungere (o sottrarre) un multiplo da un'altra riga. Per fare ciò, prima fai la moltiplicazione scalare, quindi aggiungi quel risultato alla riga di destinazione che stai cercando di modificare.
   • Supponiamo; che c'è una riga 1 di [1,1,2,6] e una riga 2 di [2,3,1,1]. Vuoi un termine 0 nella prima colonna di R2. Cioè, vuoi cambiare il 2 in 0. Per fare ciò, devi sottrarre un 2. Puoi ottenere un 2 moltiplicando prima la riga 1 per la moltiplicazione scalare 2, quindi sottraendo la prima riga dalla seconda riga. In forma abbreviata questo può essere scritto come R2-2 * R1. Innanzitutto, moltiplica R1 per 2 per ottenere [2,2,4,12]. Quindi sottrai questo da R2 per ottenere [(2-2), (3-2), (1-4), (1-12)]. Semplifica questo e il tuo nuovo R2 sarà [0,1, -3, -11].
5. Copia le righe che rimangono invariate mentre lavori. Mentre lavori sulla matrice, cambierai una singola riga alla volta, mediante moltiplicazione scalare, addizione di righe o sottrazione di righe o una combinazione di passaggi. Quando modifichi una riga, assicurati di copiare le altre righe della matrice nella loro forma originale.
   • Si verifica un errore comune quando si esegue un passaggio combinato di moltiplicazione e addizione in una sola mossa. Ad esempio, supponi di dover sottrarre due volte R1 da R2. Quando moltiplichi R1 per 2 per eseguire questo passaggio, ricorda che R1 non cambia nella matrice. Fai solo la moltiplicazione per cambiare R2. Prima copia R1 nella sua forma originale, quindi apporta la modifica a R2.
6. Primo lavoro dall'alto verso il basso. Per risolvere il sistema, lavorate secondo uno schema molto organizzato, essenzialmente "risolvendo" un termine della matrice alla volta. La sequenza per un array a tre variabili sarà simile a questa:
   • 1.Fai un 1 nella prima riga, prima colonna (R1C1).
   • 2. Creare uno 0 nella seconda riga, prima colonna (R2C1).
   • 3. Fare un 1 nella seconda riga, seconda colonna (R2C2).
   • 4. Fare uno 0 nella terza riga, prima colonna (R3C1).
   • 5. Fare uno 0 nella terza riga, seconda colonna (R3C2).
   • 6. Fare un 1 nella terza riga, terza colonna (R3C3).
7. Lavora dal basso verso l'alto. A questo punto, se hai eseguito correttamente i passaggi, sei a metà della soluzione. Devi avere la linea diagonale degli 1, con gli 0 sotto di essa. I numeri nella quarta colonna non contano a questo punto. Ora torni all'inizio come segue:
   • Crea uno 0 nella seconda riga, terza colonna (R2C3).
   • Crea uno 0 nella prima riga, terza colonna (R1C3).
   • Crea uno 0 nella prima riga, seconda colonna (R1C2).
8. Controlla di aver creato la matrice della soluzione. Se il tuo lavoro è corretto, hai creato la matrice della soluzione con 1 in una linea diagonale di R1C1, R2C2, R3C3 e 0 nelle altre posizioni delle prime tre colonne. I numeri nella quarta colonna sono le soluzioni per il tuo sistema lineare.

Parte 3 di 4: unisci i passaggi per risolvere la galassia

1. Inizia con un sistema di esempio di equazioni lineari. Per fare pratica con questi passaggi, iniziamo con il sistema che abbiamo usato in precedenza: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 e x + y + z = 7. Se scrivi questo in una matrice, hai R1 = [3,1, -1,9], R2 = [2, -2,1, -3] e R3 = [1,1,1,7].
2. Crea un 1 nella prima posizione R1C1. Nota che R1 a questo punto inizia con un 3. Devi cambiarlo in 1. Puoi farlo moltiplicando scalare, moltiplicando tutti e quattro i termini di R1 per 1/3. In breve puoi scrivere come R1 * 1/3. Questo dà un nuovo risultato per R1 se R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Copia R2 e R2, invariati, quando R2 = [2, -2,1, -3] e R3 = [1,1,1,7].
   • Nota che moltiplicazione e divisione sono solo funzioni inverse l'una dell'altra. Possiamo dire che moltiplichiamo per 1/3 o dividiamo per 3, senza modificare il risultato.
3. Crea uno 0 nella seconda riga, prima colonna (R2C1). A questo punto, R2 = [2, -2,1, -3]. Per avvicinarsi alla matrice della soluzione, è necessario modificare il primo termine da 2 a 0. Puoi farlo sottraendo il doppio del valore di R1, poiché R1 inizia con 1. In breve, l'operazione R2- 2 * R1. Ricorda, non cambi R1, lavoraci e basta. Quindi prima copia R1 se R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Quindi se raddoppi ogni termine di R1, ottieni 2 * R1 = [2,2 / 3, -2 / 3,6]. Infine, sottrai questo risultato dall'originale R2 per ottenere il tuo nuovo R2. Lavorando termine per termine, questa sottrazione diventa (2-2), (-2-2 / 3), (1 - (- 2/3)), (-3-6). Semplifichiamo questi al nuovo R2 = [0, -8 / 3,5 / 3, -9]. Nota che il primo termine è 0 (qualunque fosse il tuo obiettivo).
   • Scrivi la riga 3 (che non è cambiata) come R3 = [1,1,1,7].
   • Fai attenzione quando sottrai numeri negativi per assicurarti che i segni rimangano corretti.
   • Ora prima lasciamo le frazioni nella loro forma impropria. Ciò semplifica i passaggi successivi della soluzione. Puoi semplificare le frazioni nell'ultimo passaggio del problema.
4. Crea un 1 nella seconda riga, seconda colonna (R2C2). Per continuare a formare la linea diagonale di 1, devi convertire il secondo termine -8/3 in 1. Fallo moltiplicando l'intera riga per il reciproco di quel numero (-3/8). Simbolicamente, questo passaggio è R2 * (- 3/8). La seconda riga risultante è R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Nota che se la metà sinistra della riga inizia ad assomigliare alla soluzione con 0 e 1, la metà destra potrebbe iniziare a sembrare brutta, con frazioni improprie. Lasciali per quello che sono per ora.
   • Non dimenticare di continuare a copiare le righe non modificate, quindi R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] e R3 = [1,1,1,7].
5. Crea uno 0 nella terza riga, prima colonna (R3C1). Il tuo focus ora si sposta sulla terza riga, R3 = [1,1,1,7]. Per fare uno 0 nella prima posizione, devi sottrarre un 1 dall'1 attualmente in quella posizione. Se guardi in alto, c'è un 1 sulla prima posizione di R1. Quindi devi solo sottrarre R1 da R3 per ottenere il risultato di cui hai bisogno. Termine di lavoro per termine, questo diventa (1-1), (1-1 / 3), (1 - (- 1/3)), (7-3). Questi quattro mini-problemi possono quindi essere semplificati nel nuovo R3 = [0.2 / 3.4 / 3.4].
   • Continua a copiare lungo R1 = [1.1 / 3, -1 / 3.3] e R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8]. Ricorda che cambi solo una riga alla volta.
6. Crea uno 0 nella terza riga, seconda colonna (R3C2). Questo valore è attualmente 2/3, ma deve essere convertito in 0. A prima vista, sembra che tu possa sottrarre i valori R1 per il doppio, poiché la colonna corrispondente di R1 contiene 1/3. Tuttavia, se raddoppi e sottrai tutti i valori di R1, lo 0 nella prima colonna di R3 cambia, cosa che non vuoi. Questo sarebbe un passo indietro nella tua soluzione. Quindi devi lavorare con una combinazione di R2. Sottraendo 2/3 da R2 si crea uno 0 nella seconda colonna, senza modificare la prima colonna. In breve, questo è R3-2 / 3 * R2. I singoli termini diventano (0-0), (2 / 3-2 / 3), (4/3 - (- 5/3 * 2/3)), (4-27 / 8 * 2/3) . La semplificazione dà quindi R3 = [0,0,42 / 24,42 / 24].
7. Crea un 1 nella terza riga, terza colonna (R3C3). Questa è una semplice moltiplicazione per il reciproco del numero che dice. Il valore corrente è 42/24, quindi puoi moltiplicare per 24/42 per ottenere il valore che desideri 1. Nota che i primi due termini sono entrambi 0, quindi qualsiasi moltiplicazione rimane 0. Il nuovo valore di R3 = [0,0,1,1].
   • Nota che le frazioni che sembravano piuttosto complicate nel passaggio precedente stanno già iniziando a risolversi.
   • Continua con R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] e R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Nota che a questo punto hai la diagonale di 1 per la tua matrice della soluzione. Devi solo convertire tre elementi della matrice in 0 per trovare la tua soluzione.
8. Crea uno 0 nella seconda riga, terza colonna. R2 è attualmente [0,1, -5 / 8,27 / 8], con un valore di -5/8 nella terza colonna. Devi trasformarlo in 0. Ciò significa che devi eseguire qualche operazione con R3 che consiste nell'aggiungere 5/8. Poiché la corrispondente terza colonna di R3 è 1, è necessario moltiplicare tutti i valori di R3 per 5/8 e aggiungere il risultato a R2. In breve, questo è R2 + 5/8 * R3. Termine per questo termine è R2 = (0 + 0), (1 + 0), (-5 / 8 + 5/8), (27/8 + 5/8). Questo può essere semplificato in R2 = [0,1,0,4].
   • Quindi copia R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] e R3 = [0,0,1,1].
9. Crea uno 0 nella prima riga, terza colonna (R1C3). La prima riga è attualmente R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Devi convertire -1/3 nella terza colonna in 0, usando una combinazione di R3. Non vuoi usare R2, perché l'1 nella seconda colonna di R2 cambierebbe R1 nel modo sbagliato. Quindi moltiplica R3 * 1/3 e aggiungi il risultato a R1. La notazione per questo è R1 + 1/3 * R3. Il termine per l'elaborazione del termine risulta in R1 = (1 + 0), (1/3 + 0), (-1 / 3 + 1/3), (3 + 1/3). Puoi semplificarlo con un nuovo R1 = [1,1 / 3,0,10 / 3].
   • Copia l'R2 invariato = [0,1,0,4] e R3 = [0,0,1,1].
10. Crea uno 0 nella prima riga, seconda colonna (R1C2). Se tutto è stato eseguito correttamente, questo dovrebbe essere l'ultimo passaggio. Devi convertire 1/3 nella seconda colonna in 0. Puoi ottenerlo moltiplicando e sottraendo R2 * 1/3. In breve, questo è R1-1 / 3 * R2. Il risultato è R1 = (1-0), (1 / 3-1 / 3), (0-0), (10 / 3-4 / 3). Semplificando quindi si ottiene R1 = [1,0,0,2].
11. Cerca la matrice della soluzione. A questo punto, se tutto andasse bene, avresti le tre righe R1 = [1,0,0,2], R2 = [0,1,0,4] e R3 = [0,0,1,1] dover avere. Nota che se scrivi questo nella forma della matrice a blocchi con le righe una sopra l'altra, hai 1 diagonale con 0 più avanti e le tue soluzioni sono nella quarta colonna. La matrice della soluzione dovrebbe essere simile a questa:
    • 1 0 0 2
    • 0 1 0 4
    • 0 0 1 1
12. Capire la tua soluzione. Dopo aver convertito le equazioni lineari in una matrice, inserisci i coefficienti x nella prima colonna, i coefficienti y nella seconda colonna, i coefficienti z nella terza colonna. Se vuoi riscrivere nuovamente la matrice in equazioni, queste tre linee della matrice in realtà significano le tre equazioni 1x + 0y + 0z = 2, 0x + 1y + 0z = 4 e 0x + 0y + 1z = 1. Poiché possiamo cancellare i termini 0 e non dover scrivere i coefficienti 1, queste tre equazioni semplificano la soluzione, x = 2, y = 4 ez = 1. Questa è la soluzione al tuo sistema di equazioni lineari.

Parte 4 di 4: verifica della soluzione

1. Includere le soluzioni in ogni variabile in ogni equazione. È sempre una buona idea verificare che la soluzione sia effettivamente corretta. Puoi farlo testando i tuoi risultati nelle equazioni originali.
   • Le equazioni originali per questo problema erano: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 e x + y + z = 7. Quando sostituisci le variabili con i loro valori trovati, ottieni 3 * 2 + 4-1 = 9, 2 * 2-2 * 4 + 1 = -3 e 2 + 4 + 1 = 7.
2. Semplifica qualsiasi confronto. Eseguire le operazioni in ciascuna equazione secondo le regole di base delle operazioni. La prima equazione si semplifica in 6 + 4-1 = 9 o 9 = 9. La seconda equazione può essere semplificata in 4-8 + 1 = -3 o -3 = -3. L'ultima equazione è semplicemente 7 = 7.
   • Poiché qualsiasi equazione si semplifica in una vera dichiarazione di matematica, le tue soluzioni sono corrette. Se una delle soluzioni non è corretta, controlla di nuovo il tuo lavoro e cerca eventuali errori. Alcuni errori comuni si verificano quando si eliminano i segni meno lungo il percorso o si confondono la moltiplicazione e l'aggiunta di frazioni.
3. Scrivi le tue soluzioni finali. Per questo dato problema, la soluzione finale è x = 2, y = 4 e z = 1.

Suggerimenti

• Se il tuo sistema di equazioni è molto complesso, con molte variabili, potresti essere in grado di utilizzare una calcolatrice grafica invece di fare il lavoro a mano. Per informazioni su questo argomento, puoi anche consultare wikiHow.