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• Passi
• Consigli

La velocità è definita come la velocità di un oggetto in una data direzione. In molti casi, per trovare la velocità useremo l'equazione v = s / t, dove v è la velocità, s è la distanza totale dello spostamento dell'oggetto dalla sua posizione originale e t è il tempo impiegato dall'oggetto per viaggiare. andare fino in fondo. Tuttavia, in teoria questa formula è solo per la velocità medio delle cose in arrivo. Calcolando la velocità dell'oggetto in un dato momento lungo la distanza. Questo è Tempo di trasporto ed è definito dall'equazione v = (ds) / (dt), o in altre parole, è la derivata dell'equazione per la velocità media.

Passi

Parte 1 di 3: calcola la velocità istantanea

1. 

   
   
   Inizia con un'equazione per calcolare la velocità in base alla distanza di spostamento. Per trovare la velocità istantanea, dobbiamo prima avere un'equazione che indichi la posizione dell'oggetto (in termini di spostamento) in un dato momento. Ciò significa che l'equazione deve avere una sola variabile S da un lato e girati t Dall'altro lato (non necessariamente solo una variabile), in questo modo:
   

   s = -1,5t + 10t + 4

   • In questa equazione, le variabili sono:

     s = spostamento. La distanza di spostamento dell'oggetto dalla sua posizione originale. Ad esempio, se un oggetto può camminare di 10 metri in avanti e 7 metri all'indietro, la sua distanza di viaggio totale è 10 - 7 = 3 metri (non 10 + 7 = 17 m).

     t = tempo. Questa variabile è semplice senza spiegazione, solitamente misurata in secondi.

2. 

   
   
   Prendi la derivata dell'equazione. La derivata dell'equazione è un'altra equazione che mostra la pendenza della distanza in un determinato momento. Per trovare la derivata dell'equazione per distanza di spostamento, prendi il differenziale della funzione secondo la seguente regola generale per calcolare la derivata: Se y = a * x, Derivativa = a * n * x. Questo vale per tutti i termini sul lato "t" dell'equazione.
   • In altre parole, inizia a ottenere il differenziale da sinistra a destra sul lato "t" dell'equazione. Ogni volta che incontri la variabile "t", sottrai l'esponente per 1 e moltiplica il termine per l'esponente originale. Tutti i termini costanti (termini senza "t") scompariranno perché vengono moltiplicati per 0. Il processo in realtà non è così difficile come potresti pensare - prendiamo come esempio l'equazione nel passaggio precedente:
     

     s = -1,5t + 10t + 4
     (2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     

3. 

   Sostituisci "s" con "ds / dt". Per mostrare che la nuova equazione è la derivata del quadrato originale, sostituiamo "s" con il simbolo "ds / dt". In teoria, questa notazione è "la derivata di s in termini di t". Un modo più semplice per capire questa notazione, ds / dt è la pendenza di qualsiasi punto nell'equazione iniziale. Ad esempio, per trovare la pendenza della distanza descritta dall'equazione s = -1,5t + 10t + 4 al tempo t = 5, sostituiamo "5" con t nella derivata dell'equazione.
   • Nell'esempio sopra, la derivata dell'equazione è simile a questa:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   Sostituisci un valore per t nella nuova equazione per trovare la velocità istantanea. Ora che abbiamo l'equazione derivativa, trovare la velocità istantanea in un dato momento è molto facile. Tutto quello che devi fare è scegliere un valore t e sostituirlo con l'equazione derivativa. Ad esempio, se vogliamo trovare la velocità istantanea at = 5, dobbiamo solo sostituire "5" con t nell'equazione derivativa ds / dt = -3t + 10. Risolveremo l'equazione in questo modo:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 metri / secondo

   • Notare che usiamo l'unità "metri / secondo" sopra.Poiché stiamo risolvendo il problema con lo spostamento in metri e il tempo in secondi e la velocità è lo spostamento nel tempo, questa unità è adatta.
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Parte 2 di 3: stima grafica della velocità istantanea

1. 

   Rappresenta graficamente la distanza di movimento dell'oggetto nel tempo. Nella sezione precedente, abbiamo detto che la derivata è anche una formula che ci permette di trovare la pendenza in qualsiasi punto dell'equazione presa dalla derivata. Infatti, se mostri la distanza di spostamento dell'oggetto su un grafico, La pendenza del grafico in qualsiasi punto è la velocità istantanea dell'oggetto in quel punto.
   • Per rappresentare graficamente le distanze di movimento, utilizzare l'asse x per il tempo e l'asse y per lo spostamento. Quindi determini un numero di punti inserendo i valori di t nell'equazione del moto, il risultato sono i valori s e punteggia i punti t, s (x, y) sul grafico.
   • Nota che il grafico può estendersi al di sotto dell'asse x. Se la linea che mostra il movimento dell'oggetto scende lungo l'asse x, significa che l'oggetto si sposta all'indietro dalla sua posizione originale. In generale, il grafico non si estenderà dietro l'asse y - di solito non misuriamo la velocità degli oggetti che si spostano indietro nel tempo!

2. 

   Selezionare un punto P e un punto Q situato vicino al punto P sul grafico. Per trovare la pendenza del grafico nel punto P, usiamo la tecnica della "ricerca del limite". Trovare un limite significa prendere due punti (P ​​e Q (un punto vicino a P)) sulla curva e trovare la pendenza della linea che collega quei due punti, ripetendo questo processo man mano che la distanza tra P e Q si accorcia. gradualmente.
   • Supponiamo che la distanza di spostamento abbia punti (1; 3) e (4; 7). In questo caso, se vogliamo trovare la pendenza a (1; 3), possiamo impostare (1; 3) = P e (4; 7) = Q.

3. 

   Trova la pendenza tra P e Q. La pendenza tra P e Q è la differenza dei valori y per P e Q sulla differenza dei valori x per P e Q. In altre parole, H = (y_Q - y_P) / (X_Q - X_P), dove H è la pendenza tra due punti. In questo esempio, la pendenza tra P e Q è:
   

   H = (y_Q - y_P) / (X_Q - X_P)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1,33

4. 

   Ripeti più volte spostando Q più vicino a P. L'obiettivo è ridurre la distanza tra P e Q fino a raggiungere un unico punto. Più piccola è la distanza tra P e Q, più vicina sarà la pendenza del segmento infinitamente piccolo alla pendenza nel punto P. Ripeti alcune volte per la nostra equazione di esempio, usando i punti (2; 4 , 8), (1.5; 3.95) e (1.25; 3.49) danno Q e le coordinate iniziali di P sono (1; 3):
   

   Q = (2; 4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1,8) / (1) = 1,8
   
   Q = (1,5; 3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   H = (0,95) / (0,5) = 1,9
   
   Q = (1,25; 3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   H = (0,49) / (0,25) = 1,96

5. 

   Stima la pendenza del segmento estremamente piccolo sulla curva del grafico. Man mano che Q si avvicina sempre più a P, H si avvicina gradualmente alla pendenza in P. Infine, su una linea molto piccola, H sarà la pendenza in P. Perché non possiamo misurare o calcolare La lunghezza di una linea è estremamente piccola, quindi stima la pendenza in P solo quando è chiaramente visibile dai punti che calcoliamo.
   • Nell'esempio sopra, avvicinando H a P, abbiamo i valori per H di 1,8; 1.9 e 1.96. Poiché questi numeri si stanno avvicinando a 2 possiamo dire 2 è il valore approssimativo della pendenza in P.
   • Ricorda che la pendenza in qualsiasi punto del grafico è la derivata dell'equazione del grafico in quel punto. Poiché il grafico mostra lo spostamento di un oggetto nel tempo, come abbiamo visto nella sezione precedente, la sua velocità istantanea in qualsiasi punto è la derivata della distanza di spostamento dell'oggetto nel punto problematico. Accesso, possiamo dire 2 metri al secondo è una stima approssimativa della velocità istantanea quando t = 1.
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Parte 3 di 3: problema di esempio

1. 

   Trova la velocità istantanea quando t = 1 con l'equazione di spostamento s = 5t - 3t + 2t + 9. Come l'esempio nella prima sezione, ma questo è un cubo anziché quadratico, quindi possiamo risolvere il problema allo stesso modo.
   • Per prima cosa, prendi la derivata dell'equazione:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • Quindi sostituiamo il valore di t (4) in:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 metri al secondo

2. 

   Utilizzare il metodo di stima del grafico per trovare la velocità istantanea in (1; 3) per l'equazione di spostamento s = 4t - t. Per questo problema, usiamo le coordinate (1; 3) come punto P, ma dobbiamo trovare altri punti Q situati vicino ad esso. Quindi tutto ciò che dobbiamo fare è trovare i valori H e dedurre il valore stimato.
   • Primo, troviamo i punti Q quando t = 2; 1.5; 1.1 e 1.01.
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, quindi Q = (2; 14)
     
     t = 1.5: s = 4 (1,5) - (1,5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, quindi Q = (1,5; 7,5)
     
     t = 1,1: s = 4 (1,1) - (1,1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, quindi Q = (1,1; 3,74)
     
     t = 1.01: s = 4 (1,01) - (1,01)
     4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, quindi è tutto Q = (1,01; 3,0704)

   • Successivamente otterremo valori H:
     

     Q = (2; 14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     Q = (1,5; 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     H = (4,5) / (0,5) = 9
     
     Q = (1,1; 3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
     H = (0,74) / (0,1) = 7,3
     
     Q = (1,01; 3,0704): H = (3,0704 - 3) / (1,01 - 1)
     H = (0,0704) / (0,01) = 7,04

   • Poiché i valori H sembrano essere più vicini a 7, possiamo dirlo 7 metri al secondo è la stima approssimativa della velocità istantanea alla coordinata (1; 3).
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Consigli

• Per trovare l'accelerazione (variazione di velocità nel tempo), utilizzare il metodo nella prima parte per ottenere la derivata dell'equazione di spostamento. Quindi prendi di nuovo la derivata per l'equazione della derivata che hai appena trovato. Il risultato è che hai un'equazione per l'accelerazione in un dato momento: tutto ciò che devi fare è collegare il tempo.
• L'equazione che mostra la relazione tra Y (distanza di spostamento) e X (tempo) può essere molto semplice, poiché Y = 6x + 3. In questo caso, la pendenza è costante e non è necessario prendere la derivata per calcolare la pendenza, cioè segue l'equazione di base forma Y = mx + b per un grafico lineare, cioè la pendenza è uguale a 6.
• La distanza di spostamento è come la distanza ma ha una direzione, quindi è una quantità vettoriale e la velocità è una quantità scalare. Le distanze di viaggio possono essere negative, mentre le distanze possono essere solo positive.