Contenuto

• Informazioni preliminari
• Passi
• Parte 1 di 3: Le basi
• Parte 2 di 3: proprietà della trasformata di Laplace
• Parte 3 di 3: Trovare la trasformazione di Laplace tramite l'espansione in serie

La trasformata di Laplace è una trasformata integrale utilizzata per risolvere equazioni differenziali a coefficienti costanti. Questa trasformazione è ampiamente utilizzata in fisica e ingegneria.

Sebbene sia possibile utilizzare le tabelle appropriate, è utile comprendere la trasformata di Laplace in modo da poterla eseguire autonomamente se necessario.

Informazioni preliminari

• Data una funzione ${ stile di visualizzazione f (t)}$definito per ${ displaystyle t geq 0.}$ Quindi Trasformata di Laplace funzione ${ stile di visualizzazione f (t)}$ è la funzione successiva di ciascun valore ${ displaystyle s}$, in cui converge l'integrale:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} T}$
• La trasformata di Laplace assume una funzione dalla regione t (scala temporale) alla regione s (regione di trasformazione), dove ${ stile di visualizzazione F (s)}$ è una funzione complessa di una variabile complessa. Consente di spostare la funzione in un'area in cui è più facile trovare una soluzione.
• Ovviamente la trasformata di Laplace è un operatore lineare, quindi se abbiamo a che fare con una somma di termini, ogni integrale può essere calcolato separatamente.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Ricorda che la trasformata di Laplace funziona solo se l'integrale converge. Se la funzione ${ stile di visualizzazione f (t)}$ presenta discontinuità, occorre prestare attenzione e fissare correttamente i limiti dell'integrazione per evitare incertezze.

Passi

Parte 1 di 3: Le basi

1. 1 Sostituisci la funzione nella formula della trasformata di Laplace. In teoria, la trasformata di Laplace di una funzione è molto facile da calcolare. Ad esempio, consideriamo la funzione ${ stile di visualizzazione f (t) = e ^ {at}}$, dove ${ stile di visualizzazione a}$ è una costante complessa con ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Stimare l'integrale utilizzando i metodi disponibili. Nel nostro esempio, la stima è molto semplice e puoi cavartela con semplici calcoli. In casi più complessi possono essere necessari metodi più complessi, ad esempio l'integrazione per parti o la differenziazione sotto il segno di integrale. Condizione di vincolo ${ displaystyle nomeoperatore {Re} (s) nomeoperatore {Re} (a)}$ significa che l'integrale converge, cioè il suo valore tende a 0 come ${ displaystyle t a infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {allineato}}}$
   • Nota che questo ci dà due tipi di trasformata di Laplace, con seno e coseno, poiché secondo la formula di Eulero ${ displaystyle e ^ {iat}}$... In questo caso, al denominatore otteniamo ${ displaystyle s-ia,}$ e resta solo da determinare le parti reale e immaginaria. Puoi anche valutare direttamente il risultato, ma ciò richiederebbe un po' più di tempo.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + un ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + un ^ {2}}}}$
3. 3 Consideriamo la trasformata di Laplace di una funzione di potenza. Innanzitutto, è necessario definire la trasformazione della funzione potenza, poiché la proprietà di linearità consente di trovare la trasformazione per di tutti polinomi. Una funzione della forma ${ stile di visualizzazione t ^ {n},}$ dove ${ stile di visualizzazione n}$ - qualsiasi numero intero positivo. Può essere integrato pezzo per pezzo per definire una regola ricorsiva.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Questo risultato è espresso implicitamente, ma se sostituisci più valori ${ stile di visualizzazione n,}$ puoi stabilire un certo schema (prova a farlo da solo), che ti consente di ottenere il seguente risultato:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Puoi anche definire la trasformata di Laplace delle potenze frazionarie usando la funzione gamma. Ad esempio, in questo modo puoi trovare la trasformazione di una funzione come ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Sebbene le funzioni con potenze frazionarie debbano avere tagli (ricorda, qualsiasi numero complesso ${ stile di visualizzazione z}$ e ${ displaystyle alfa}$ può essere scritto come ${ displaystyle z ^ { alfa}}$, perché il ${ displaystyle e ^ { alpha nomeoperatore {Log} z}}$), possono sempre essere definiti in modo tale che i tagli giacciano nel semipiano sinistro, evitando così problemi di analiticità.

Parte 2 di 3: proprietà della trasformata di Laplace

1. 1 Troviamo la trasformata di Laplace della funzione moltiplicata per eunT{ displaystyle e ^ {at}}. I risultati ottenuti nella sezione precedente ci hanno permesso di scoprire alcune interessanti proprietà della trasformata di Laplace. La trasformata di Laplace di funzioni come coseno, seno ed esponenziale sembra essere più semplice della trasformata della funzione potenza. Moltiplicazione per ${ displaystyle e ^ {at}}$ nella regione t corrisponde a spostare nella regione s:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Questa proprietà permette di trovare immediatamente la trasformazione di funzioni come ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, senza dover calcolare l'integrale:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Troviamo la trasformata di Laplace della funzione moltiplicata per Tn{ stile di visualizzazione t ^ {n}}. Innanzitutto, considera la moltiplicazione per ${ stile di visualizzazione t}$... Per definizione, si può differenziare una funzione sotto un integrale e ottenere un risultato sorprendentemente semplice:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {allineato}}}$
   • Ripetendo questa operazione, otteniamo il risultato finale:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Sebbene la riorganizzazione degli operatori di integrazione e differenziazione richieda qualche giustificazione aggiuntiva, non la presenteremo qui, ma noteremo solo che questa operazione è corretta se il risultato finale ha un senso. Puoi anche tenere conto del fatto che le variabili ${ displaystyle s}$ e ${ stile di visualizzazione t}$ non dipendono l'uno dall'altro.
   • Usando questa regola, è facile trovare la trasformazione di funzioni come ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, senza reintegrazione per parti:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Trova la trasformata di Laplace della funzione F(unT){ stile di visualizzazione f (at)}. Questo può essere fatto facilmente sostituendo la variabile con u usando la definizione di una trasformazione:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F sinistra ({ frac {s} {a}} destra) end {allineato}}}$
   • Sopra, abbiamo trovato la trasformata di Laplace delle funzioni ${ displaystyle sin at}$ e ${ displaystyle cos at}$ direttamente dalla funzione esponenziale. Usando questa proprietà, puoi ottenere lo stesso risultato se trovi le parti reale e immaginaria ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Trova la trasformata di Laplace della derivata F′(T){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. A differenza degli esempi precedenti, in questo caso dovere integra pezzo per pezzo:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {allineato}}}$
   • Poiché la seconda derivata si verifica in molti problemi fisici, troviamo anche la trasformata di Laplace:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Nel caso generale, la trasformata di Laplace della derivata di ordine n-esimo è definita come segue (questo consente di risolvere equazioni differenziali utilizzando la trasformata di Laplace):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n-1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Parte 3 di 3: Trovare la trasformazione di Laplace tramite l'espansione in serie

1. 1 Troviamo la trasformata di Laplace per una funzione periodica. La funzione periodica soddisfa la condizione ${ stile di visualizzazione f (t) = f (t + nT),}$ dove ${ stile di visualizzazione T}$ è il periodo della funzione, e ${ stile di visualizzazione n}$ è un numero intero positivo. Le funzioni periodiche sono ampiamente utilizzate in molte applicazioni, inclusa l'elaborazione del segnale e l'ingegneria elettrica. Usando semplici trasformazioni, otteniamo il seguente risultato:
   • ${ displaystyle { begin {allineato} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { allineato}}}$
   • Come puoi vedere, nel caso di una funzione periodica, è sufficiente eseguire la trasformata di Laplace per un periodo.
2. 2 Eseguire la trasformata di Laplace per il logaritmo naturale. In questo caso, l'integrale non può essere espresso sotto forma di funzioni elementari. L'utilizzo della funzione gamma e della sua espansione in serie consente di stimare il logaritmo naturale e i suoi gradi. La presenza della costante di Eulero-Mascheroni ${ displaystyle gamma}$ mostra che per stimare questo integrale, è necessario utilizzare uno sviluppo in serie.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Consideriamo la trasformata di Laplace della funzione sin non normalizzata. Funzione ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ ampiamente utilizzato per l'elaborazione dei segnali, nelle equazioni differenziali è equivalente alla funzione sferica di Bessel di prima specie e di ordine zero ${ stile di visualizzazione j_ {0} (x).}$ Anche la trasformata di Laplace di questa funzione non può essere calcolata con metodi standard. In questo caso, viene eseguita la trasformazione dei singoli membri della serie, che sono funzioni di potenza, quindi le loro trasformazioni convergono necessariamente su un dato intervallo.
   • Innanzitutto, scriviamo lo sviluppo della funzione in una serie di Taylor:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Ora usiamo la già nota trasformata di Laplace di una funzione di potenza. I fattoriali vengono cancellati, e come risultato si ottiene lo sviluppo di Taylor per l'arcotangente, cioè una serie alternata che assomiglia alla serie di Taylor per il seno, ma senza fattoriali:
     • ${ displaystyle { begin {allineato} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {allineato}}}$