Contenuto

• Passi
• Parte 1 di 4: come scrivere un'equazione
• Parte 2 di 4: Come scrivere l'algoritmo di Euclide
• Parte 3 di 4: Come trovare una soluzione usando l'algoritmo di Euclide
• Parte 4 di 4: trova infinite altre soluzioni

Per risolvere un'equazione diofantea lineare, è necessario trovare i valori delle variabili "x" e "y", che sono numeri interi. Una soluzione intera è più complessa del solito e richiede un insieme specifico di azioni. Innanzitutto, è necessario calcolare il massimo comun divisore (MCD) dei coefficienti, quindi trovare una soluzione. Una volta trovata una soluzione intera di un'equazione lineare, puoi utilizzare un modello semplice per trovare un numero infinito di altre soluzioni.

Passi

Parte 1 di 4: come scrivere un'equazione

1. 1 Scrivi l'equazione in forma standard. Un'equazione lineare è un'equazione in cui gli esponenti delle variabili non superano 1. Per risolvere tale equazione lineare, prima scrivila in forma standard. La forma standard di un'equazione lineare si presenta così: ${ displaystyle Ascia + Per = C}$, dove ${ stile di visualizzazione A, B}$ e ${ stile di visualizzazione C}$ - numeri interi.
   • Se l'equazione è data in una forma diversa, portala nella forma standard usando le operazioni algebriche di base. Ad esempio, data l'equazione ${ stile di visualizzazione 23x + 4y-7x = -3y + 15}$... Fornisci termini simili e scrivi l'equazione in questo modo: ${ stile di visualizzazione 16x + 7y = 15}$.
2. 2 Semplifica l'equazione (se possibile). Quando scrivi l'equazione in forma standard, guarda i coefficienti ${ stile di visualizzazione A, B}$ e ${ stile di visualizzazione C}$... Se queste quote hanno un GCD, dividi tutte e tre le quote per esso. La soluzione di un'equazione così semplificata sarà anche la soluzione dell'equazione originale.
   • Ad esempio, se tutti e tre i coefficienti sono pari, dividili per almeno 2. Ad esempio:
     • ${ stile di visualizzazione 42x + 36y = 48}$ (tutti i membri sono divisibili per 2)
     • ${ stile di visualizzazione 21x + 18y = 24}$ (ora tutti i membri sono divisibili per 3)
     • ${ stile di visualizzazione 7x + 6y = 8}$ (questa equazione non può più essere semplificata)
3. 3 Controlla se l'equazione può essere risolta. In alcuni casi, puoi affermare immediatamente che l'equazione non ha soluzioni. Se il coefficiente "C" non è divisibile per il MCD dei coefficienti "A" e "B", l'equazione non ha soluzioni.
   • Ad esempio, se entrambi i coefficienti ${ stile di visualizzazione A}$ e ${ stile di visualizzazione B}$ sono pari, allora il coefficiente ${ stile di visualizzazione C}$ deve essere pari. Ma se ${ stile di visualizzazione C}$ strano, allora non c'è soluzione.
     • L'equazione ${ stile di visualizzazione 2x + 4y = 21}$ nessuna soluzione intera.
     • L'equazione ${ stile di visualizzazione 5x + 10y = 17}$ non ci sono soluzioni intere poiché il lato sinistro dell'equazione è divisibile per 5 e il lato destro no.

Parte 2 di 4: Come scrivere l'algoritmo di Euclide

1. 1 Comprendere l'algoritmo di Euclide. È una serie di divisioni ripetute in cui il resto precedente viene utilizzato come divisore successivo. L'ultimo divisore che divide integralmente i numeri è il massimo comun divisore (MCD) dei due numeri.
   • Ad esempio, troviamo il MCD dei numeri 272 e 36 utilizzando l'algoritmo di Euclide:
     • ${ stile di visualizzazione 272 = 7 * 36 + 20}$ - Dividere il numero maggiore (272) per quello minore (36) e prestare attenzione al resto (20);
     • ${ stile di visualizzazione 36 = 1 * 20 + 16}$ - dividere il precedente divisore (36) per il precedente resto (20). Notare il nuovo residuo (16);
     • ${ stile di visualizzazione 20 = 1 * 16 + 4}$ - dividere il precedente divisore (20) per il precedente resto (16). Notare il nuovo residuo (4);
     • ${ stile di visualizzazione 16 = 4 * 4 + 0}$ - Dividere il precedente divisore (16) per il resto precedente (4). Poiché il resto è 0, possiamo dire che 4 è il MCD dei due numeri originali 272 e 36.
2. 2 Applicare l'algoritmo di Euclide ai coefficienti "A" e "B". Quando scrivi l'equazione lineare in forma standard, determina i coefficienti "A" e "B" e quindi applica loro l'algoritmo di Euclide per trovare il MCD. Ad esempio, data un'equazione lineare ${ displaystyle 87x-64y = 3}$.
   • Ecco l'algoritmo di Euclide per i coefficienti A = 87 e B = 64:
     • ${ stile di visualizzazione 87 = 1 * 64 + 23}$
     • ${ stile di visualizzazione 64 = 2 * 23 + 18}$
     • ${ stile di visualizzazione 23 = 1 * 18 + 5}$
     • ${ stile di visualizzazione 18 = 3 * 5 + 3}$
     • ${ stile di visualizzazione 5 = 1 * 3 + 2}$
     • ${ stile di visualizzazione 3 = 1 * 2 + 1}$
     • ${ stile di visualizzazione 2 = 2 * 1 + 0}$
3. 3 Trova il massimo fattore comune (MCD). Poiché l'ultimo divisore era 1, MCD 87 e 64 sono 1. Pertanto, 87 e 64 sono numeri primi l'uno rispetto all'altro.
4. 4 Analizza il risultato. Quando trovi i coefficienti mcd ${ stile di visualizzazione A}$ e ${ stile di visualizzazione B}$, confrontalo con il coefficiente ${ stile di visualizzazione C}$ l'equazione originale. Se ${ stile di visualizzazione C}$ divisibile per gcd ${ stile di visualizzazione A}$ e ${ stile di visualizzazione B}$, l'equazione ha una soluzione intera; altrimenti l'equazione non ha soluzioni.
   • Ad esempio, l'equazione ${ stile di visualizzazione 87x-64y = 3}$ può essere risolto perché 3 è divisibile per 1 (mcd = 1).
   • Ad esempio, supponiamo MCD = 5. 3 non è equamente divisibile per 5, quindi questa equazione non ha soluzioni intere.
   • Come mostrato di seguito, se un'equazione ha una soluzione intera, ha anche un numero infinito di altre soluzioni intere.

Parte 3 di 4: Come trovare una soluzione usando l'algoritmo di Euclide

1. 1 Numera i passaggi per il calcolo del GCD. Per trovare la soluzione di un'equazione lineare, è necessario utilizzare l'algoritmo euclideo come base per il processo di sostituzione e semplificazione.
   • Inizia numerando i passaggi per il calcolo del GCD. Il processo di calcolo è simile a questo:
     • ${ displaystyle { text {Passaggio 1}}: 87 = (1 * 64) +23}$
     • ${ displaystyle { text {Passaggio 2}}: 64 = (2 * 23) +18}$
     • ${ displaystyle { text {Passaggio 3}}: 23 = (1 * 18) +5}$
     • ${ displaystyle { text {Passaggio 4}}: 18 = (3 * 5) +3}$
     • ${ displaystyle { text {Passaggio 5}}: 5 = (1 * 3) +2}$
     • ${ displaystyle { text {Passaggio 6}}: 3 = (1 * 2) +1}$
     • ${ displaystyle { text {Passaggio 7}}: 2 = (2 * 1) +0}$
2. 2 Presta attenzione all'ultimo passaggio, dove c'è un resto. Riscrivi l'equazione per questo passaggio per isolare il resto.
   • Nel nostro esempio, l'ultimo passaggio con resto è il passaggio 6. Il resto è 1. Riscrivi l'equazione nel passaggio 6 come segue:
     • ${ stile di visualizzazione 1 = 3- (1 * 2)}$
3. 3 Isolare il resto del passaggio precedente. Questo processo è un "spostamento verso l'alto" passo dopo passo. Ogni volta isolerai il resto nell'equazione nel passaggio precedente.
   • Isolare il resto dell'equazione nel passaggio 5:
     • ${ stile di visualizzazione 2 = 5- (1 * 3)}$ o ${ stile di visualizzazione 2 = 5-3}$
4. 4 Sostituisci e semplifica. Notare che l'equazione del passaggio 6 contiene il numero 2 e nell'equazione del passaggio 5 il numero 2 è isolato. Quindi, invece di "2" nell'equazione nel passaggio 6, sostituire l'espressione nel passaggio 5:
   • ${ stile di visualizzazione 1 = 3-2}$ (equazione del passaggio 6)
   • ${ stile di visualizzazione 1 = 3- (5-3)}$ (invece di 2, è stata sostituita un'espressione)
   • ${ stile di visualizzazione 1 = 3-5 + 3}$ (parentesi aperte)
   • ${ stile di visualizzazione 1 = 2 (3) -5}$ (semplificato)
5. 5 Ripetere il processo di sostituzione e semplificazione. Ripetere il processo descritto, muovendosi attraverso l'algoritmo euclideo in ordine inverso. Ogni volta riscriverai l'equazione del passaggio precedente e la inserirai nell'ultima equazione che ottieni.
   • L'ultimo passaggio che abbiamo esaminato è stato il passaggio 5. Quindi vai al passaggio 4 e isola il resto nell'equazione per quel passaggio:
     • ${ stile di visualizzazione 3 = 18- (3 * 5)}$
   • Sostituisci questa espressione per "3" nell'ultima equazione:
     • ${ stile di visualizzazione 1 = 2 (18-3 * 5) -5}$
     • ${ stile di visualizzazione 1 = 2 (18) -6 (5) -5}$
     • ${ stile di visualizzazione 1 = 2 (18) -7 (5)}$
6. 6 Continuare con il processo di sostituzione e semplificazione. Questo processo verrà ripetuto fino a raggiungere il passaggio iniziale dell'algoritmo euclideo. L'obiettivo del processo è scrivere l'equazione con i coefficienti 87 e 64 dell'equazione originale da risolvere. Nel nostro esempio:
   • ${ stile di visualizzazione 1 = 2 (18) -7 (5)}$
   • ${ stile di visualizzazione 1 = 2 (18) -7 (23-18)}$ (sostituito l'espressione dal punto 3)
     • ${ stile di visualizzazione 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}$
     • ${ stile di visualizzazione 1 = 9 (18) -7 (23)}$
   • ${ stile di visualizzazione 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)}$ (sostituito l'espressione dal punto 2)
     • ${ stile di visualizzazione 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}$
     • ${ stile di visualizzazione 1 = 9 (64) -25 (23)}$
   • ${ stile di visualizzazione 1 = 9 (64) -25 (87-64)}$ (sostituito l'espressione dal punto 1)
     • ${ stile di visualizzazione 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}$
     • ${ stile di visualizzazione 1 = 34 (64) -25 (87)}$
7. 7 Riscrivi l'equazione risultante in base ai coefficienti originali. Quando torni al primo passaggio dell'algoritmo euclideo, vedrai che l'equazione risultante contiene due coefficienti dell'equazione originale. Riscrivi l'equazione in modo che l'ordine dei suoi termini corrisponda ai coefficienti dell'equazione originale.
   • Nel nostro esempio, l'equazione originale ${ stile di visualizzazione 87x-64y = 3}$... Pertanto, riscrivi l'equazione risultante in modo che i coefficienti siano allineati.Prestare particolare attenzione al coefficiente "64". Nell'equazione originale, questo coefficiente è negativo e nell'algoritmo euclideo è positivo. Pertanto, il fattore 34 deve essere reso negativo. L'equazione finale si scriverà così:
     • ${ stile di visualizzazione 87 (-25) -64 (-34) = 1}$
8. 8 Applicare il moltiplicatore appropriato per trovare una soluzione. Nota che nel nostro esempio, MCD = 1, quindi l'equazione finale è 1. Ma l'equazione originale (87x-64y) è 3. Pertanto, tutti i termini nell'equazione finale devono essere moltiplicati per 3 per ottenere la soluzione:
   • ${ displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}$
   • ${ stile di visualizzazione 87 (-75) -64 (-102) = 3}$
9. 9 Scrivi la soluzione intera dell'equazione. I numeri che vengono moltiplicati per i coefficienti dell'equazione originale sono le soluzioni di quell'equazione.
   • Nel nostro esempio, scrivi la soluzione come una coppia di coordinate: ${ stile di visualizzazione (x, y) = (-75, -102)}$.

Parte 4 di 4: trova infinite altre soluzioni

1. 1 Capire che ci sono un numero infinito di soluzioni. Se un'equazione lineare ha una soluzione intera, allora deve avere infinite soluzioni intere. Ecco una rapida dimostrazione (in forma algebrica):
   • ${ displaystyle Ascia + Per = C}$
   • ${ stile di visualizzazione A (x + B) + B (y-A) = C}$ (se aggiungi "B" a "x" e sottrai "A" da "y", il valore dell'equazione originale non cambierà)
2. 2 Registra i valori xey originali. Il modello per calcolare le prossime (infinite) soluzioni inizia con l'unica soluzione che hai già trovato.
   • Nel nostro esempio, la soluzione è una coppia di coordinate ${ stile di visualizzazione (x, y) = (-75, -102)}$.
3. 3 Aggiungi il fattore "B" al valore "x". Fai questo per trovare il nuovo valore x.
   • Nel nostro esempio, x = -75 e B = -64:
     • ${ stile di visualizzazione x = -75 + (- 64) = - 139}$
   • Pertanto, il nuovo valore "x": x = -139.
4. 4 Sottrai il fattore "A" dal valore "y". In modo che il valore dell'equazione originale non cambi, quando si aggiunge un numero a "x", è necessario sottrarre un altro numero da "y".
   • Nel nostro esempio, y = -102 e A = 87:
     • ${ stile di visualizzazione y = -102-87 = -189}$
   • Quindi, il nuovo valore per "y": y = -189.
   • La nuova coppia di coordinate verrà scritta in questo modo: ${ stile di visualizzazione (x, y) = (-139, -189)}$.
5. 5 Controlla la soluzione. Per verificare che la nuova coppia di coordinate sia una soluzione dell'equazione originale, inserisci i valori nell'equazione.
   • ${ stile di visualizzazione 87x-64y = 3}$
   • ${ stile di visualizzazione 87 (-139) -64 (-189) = 3}$
   • ${ stile di visualizzazione 3 = 3}$
   • Poiché l'uguaglianza è soddisfatta, la decisione è corretta.
6. 6 Scrivi le espressioni per trovare molte soluzioni. I valori "x" saranno uguali alla soluzione originale più qualsiasi multiplo del fattore "B". Questo può essere scritto come la seguente espressione:
   • x (k) = x + k (B), dove "x (k)" è l'insieme dei valori "x" e "x" è il (primo) valore originale di "x" che hai trovato.
     • Nel nostro esempio:
     • ${ stile di visualizzazione x (k) = - 75-64k}$
   • y (k) = y-k (A), dove y (k) è l'insieme dei valori y e y è il (primo) valore y originale che hai trovato.
     • Nel nostro esempio:
     • ${ stile di visualizzazione y (k) = - 102-87k}$