Contenuto

• Passi
• Parte 1 di 3: Estrazione della radice cubica con un semplice esempio
• Parte 2 di 3: stima della radice cubica
• Parte 3 di 3: Spiegazione del processo di calcolo descritto
• Consigli
• Avvertenze
• Di che cosa hai bisogno

Se hai una calcolatrice a portata di mano, puoi estrarre facilmente la radice cubica di qualsiasi numero. Ma se non hai una calcolatrice o vuoi solo impressionare gli altri, estrai manualmente la radice del cubo. Per la maggior parte delle persone, il processo qui descritto sembrerà piuttosto complicato, ma con la pratica diventerà molto più facile estrarre le radici cubiche. Prima di iniziare a leggere questo articolo, ricorda le operazioni matematiche di base e i calcoli con i numeri in un cubo.

Passi

Parte 1 di 3: Estrazione della radice cubica con un semplice esempio

1. 1 Annota il compito. L'estrazione manuale della radice cubica è simile alla divisione lunga, ma con alcune sfumature. Innanzitutto, scrivi l'attività in un modulo specifico.
   • Annota il numero da cui vuoi estrarre la radice cubica. Dividi il numero in gruppi di tre cifre e inizia a contare con un punto decimale. Ad esempio, è necessario estrarre la radice cubica di 10. Scrivere il numero in questo modo: 10.000.000 Gli zeri aggiuntivi vengono utilizzati per migliorare la precisione del risultato.
   • Disegna un segno di radice accanto e sopra il numero. Immagina che queste siano le linee orizzontali e verticali che disegna in una lunga divisione. L'unica differenza è la forma dei due personaggi.
   • Posiziona un punto decimale sopra la linea orizzontale. Fallo direttamente sopra la virgola decimale del numero originale.
2. 2 Ricorda i risultati del cubo di interi. Saranno utilizzati nei calcoli.
   • ${ stile di visualizzazione 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}$
   • ${ stile di visualizzazione 2 ^ {3} = 2 * 2 * 2 = 8}$
   • ${ stile di visualizzazione 3 ^ {3} = 3 * 3 * 3 = 27}$
   • ${ stile di visualizzazione 4 ^ {3} = 4 * 4 * 4 = 64}$
   • ${ stile di visualizzazione 5 ^ {3} = 5 * 5 * 5 = 125}$
   • ${ stile di visualizzazione 6 ^ {3} = 6 * 6 * 6 = 216}$
   • ${ stile di visualizzazione 7 ^ {3} = 7 * 7 * 7 = 343}$
   • ${ stile di visualizzazione 8 ^ {3} = 8 * 8 * 8 = 512}$
   • ${ stile di visualizzazione 9 ^ {3} = 9 * 9 * 9 = 729}$
   • ${ stile di visualizzazione 10 ^ {3} = 10 * 10 * 10 = 1000}$
3. 3 Trova la prima cifra della risposta. Seleziona un cubo intero più vicino ma più piccolo del primo gruppo di tre cifre.
   • Nel nostro esempio, il primo gruppo di tre cifre è 10. Trova il cubo più grande minore di 10. Quel cubo è 8 e la radice cubica di 8 è 2.
   • Sopra la linea orizzontale sopra il numero 10, scrivi il numero 2. Quindi annota il valore dell'operazione ${ stile di visualizzazione 2 ^ {3}}$ = 8 sotto 10. Disegna una linea e sottrai 8 da 10 (come nella divisione lunga). Il risultato è 2 (questo è il primo resto).
   • Quindi, hai trovato il primo numero della risposta. Considera se il risultato dato è abbastanza accurato. Nella maggior parte dei casi, questa sarà una risposta molto approssimativa. Cub il risultato per scoprire quanto è vicino al numero originale. Nel nostro esempio: ${ stile di visualizzazione 2 ^ {3}}$ = 8, che non è molto vicino a 10, quindi è necessario continuare i calcoli.
4. 4 Trova la cifra successiva della risposta. Aggiungi il secondo gruppo di tre numeri al primo resto e traccia una linea verticale a sinistra del numero risultante. Usando il numero risultante, troverai la seconda cifra della risposta. Nel nostro esempio, il secondo gruppo di tre cifre (000) deve essere aggiunto al primo resto (2) per ottenere il numero 2000.
   • A sinistra della linea verticale, scrivi tre numeri, la cui somma è uguale a un primo fattore. Lascia spazi vuoti per questi numeri e inserisci i segni più in mezzo.
5. 5 Trova il primo termine (di tre). Nel primo spazio vuoto, scrivi il risultato della moltiplicazione di 300 per il quadrato della prima cifra della risposta (è scritto sopra il segno della radice). Nel nostro esempio, la prima cifra della risposta è 2, quindi 300 * (2 ^ 2) = 300 * 4 = 1200. Scrivi 1200 nel primo spazio vuoto. Il primo termine è 1200 (più altri due numeri da trovare).
6. 6 Trova la seconda cifra della risposta. Scopri quale numero devi moltiplicare 1200 in modo che il risultato sia vicino, ma non superi 2000. Questo numero può essere solo 1, poiché 2 * 1200 = 2400, che è più di 2000. Scrivi 1 (seconda cifra del risposta) dopo 2 e la virgola decimale sopra il segno della radice.
7. 7 Trova il secondo e il terzo termine (su tre). Il fattore è composto da tre numeri (termini), il primo dei quali è già stato trovato (1200). Ora dobbiamo trovare i due termini rimanenti.
   • Moltiplica 3 per 10 e per ogni cifra della risposta (sono scritti sopra il segno della radice). Nel nostro esempio: 3 * 10 * 2 * 1 = 60. Aggiungi questo risultato a 1200 e ottieni 1260.
   • Infine, eleva al quadrato l'ultima cifra della tua risposta. Nel nostro esempio, l'ultima cifra della risposta è 1, quindi 1 ^ 2 = 1. Quindi il primo fattore è la somma dei seguenti numeri: 1200 + 60 + 1 = 1261. Scrivi questo numero a sinistra della barra verticale .
8. 8 Moltiplicare e sottrarre. Moltiplica l'ultima cifra della risposta (nel nostro esempio è 1) per il fattore trovato (1261): 1 * 1261 = 1261. Scrivi questo numero sotto 2000 e sottrailo da 2000. Otterrai 739 (questo è il secondo resto).
9. 9 Considera se la risposta che hai ricevuto è abbastanza accurata. Fallo ogni volta che completi la sottrazione successiva. Dopo la prima sottrazione, la risposta è stata 2, che non è un risultato esatto. Dopo la seconda sottrazione, la risposta è 2.1.
   • Per verificare l'accuratezza della risposta, crea un cubo: 2,1 * 2,1 * 2,1 = 9,261.
   • Se pensi che la risposta sia abbastanza accurata, non devi continuare i calcoli; altrimenti, fai un'altra sottrazione.
10. 10 Trova il secondo fattore. Per esercitarti con i calcoli e ottenere un risultato più accurato, ripeti i passaggi precedenti.
    • Aggiungi il terzo gruppo di tre cifre (000) al secondo resto (739). Otterrai il numero 739000.
    • Moltiplica 300 per il quadrato del numero scritto sopra il segno della radice (21): ${ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}$ = 132300.
    • Trova la terza cifra della risposta. Scopri quale numero devi moltiplicare 132300 in modo che il risultato sia vicino, ma non superi 739000. Quel numero è 5: 5 * 132200 = 661500. Scrivi 5 (terza cifra della risposta) dopo 1 sopra il segno della radice.
    • Moltiplica 3 per 10 per 21 e per l'ultima cifra della risposta (sono scritti sopra il segno della radice). Nel nostro esempio: ${ stile di visualizzazione 3 * 21 * 5 * 10 = 3150}$.
    • Infine, eleva al quadrato l'ultima cifra della tua risposta. Nel nostro esempio, l'ultima cifra della risposta è 5, quindi ${ stile di visualizzazione 5 ^ {2} = 25.}$
    • Quindi, il secondo fattore è: 132300 + 3150 + 25 = 135.475.
11. 11 Moltiplica l'ultima cifra della tua risposta per il secondo fattore. Dopo aver trovato il secondo fattore e la terza cifra della risposta, procedi come segue:
    • Moltiplica l'ultima cifra della risposta per il fattore trovato: 135475 * 5 = 677375.
    • Sottrarre: 739000 - 677375 = 61625.
    • Considera se la risposta che hai ricevuto è abbastanza accurata. Per fare ciò, taglialo al cubo: ${ stile di visualizzazione 2,15 * 2,15 * 2,15 = 9,94}$.
12. 12 Scrivi la tua risposta. Il risultato scritto sopra il segno della radice è la risposta con due cifre decimali. Nel nostro esempio, la radice cubica di 10 è 2,15. Controlla la tua risposta tagliandola al cubo: 2,15 ^ 3 = 9,94, che è circa 10. Se hai bisogno di maggiore precisione, continua il calcolo (come descritto sopra).

Parte 2 di 3: stima della radice cubica

1. 1 Usa cubi di numeri per determinare i limiti superiore e inferiore. Se devi estrarre la radice cubica di quasi tutti i numeri, trova i cubi (alcuni numeri) vicini al numero dato.
   • Ad esempio, è necessario estrarre la radice cubica di 600. Poiché ${ stile di visualizzazione 8 ^ {3} = 512}$ e ${ stile di visualizzazione 9 ^ {3} = 729}$, allora la radice cubica di 600 è compresa tra 8 e 9. Pertanto, usa 512 e 729 come limiti superiore e inferiore della tua risposta.
2. 2 Stimare il secondo numero. Hai trovato il primo numero grazie alla tua conoscenza dei cubi degli interi. Ora converti un intero in una frazione decimale assegnandogli (dopo la virgola) una cifra da 0 a 9. Devi trovare una frazione decimale, il cui cubo sarà vicino, ma inferiore al numero originale.
   • Nel nostro esempio, il numero 600 è compreso tra 512 e 729. Ad esempio, al primo numero trovato (8), aggiungi il numero 5. Ottieni il numero 8.5.
3. 3 Stimare il numero risultante costruendolo in un cubo. Fai questo per verificare che il cubo sia vicino ma non più grande del numero originale.
   • Nel nostro esempio: ${ stile di visualizzazione 8,5 * 8,5 * 8,5 = 614.1.}$
4. 4 Valutare un numero diverso se necessario. Confronta il cubo del numero risultante con il numero originale. Se il cubo del numero risultante è maggiore del numero originale, prova a valutare un numero inferiore. Se il cubo del numero risultante è molto più piccolo del numero originale, valuta i numeri grandi finché il cubo di uno di essi non supera il numero originale.
   • Nel nostro esempio: ${ stile di visualizzazione 8.5 ^ {3}}$ > 600. Quindi, stimare il numero minore 8.4. Cube questo numero e confrontalo con il numero originale: ${ stile di visualizzazione 8.4 * 8.4 * 8.4 = 592,7}$... Questo risultato è inferiore al numero originale. Pertanto, la radice cubica di 600 è compresa tra 8,4 e 8,5.
5. 5 Valuta il numero successivo per migliorare la precisione della tua risposta. Per ogni numero che hai valutato per ultimo, aggiungi un numero da 0 a 9 fino a ottenere la risposta esatta. In ogni round di valutazione, devi trovare i limiti superiore e inferiore tra i quali si trova il numero originale.
   • Nel nostro esempio: ${ stile di visualizzazione 8,4 ^ {3} = 592,7}$ e ${ stile di visualizzazione 8,5 ^ {3} = 614,1}$... Il numero originale 600 è più vicino a 592 che a 614. Pertanto, all'ultimo numero stimato, aggiungi una cifra più vicina a 0 che a 9. Ad esempio, questo numero è 4. Pertanto, elimina il numero 8.44.
6. 6 Valutare un numero diverso se necessario. Confronta il cubo del numero risultante con il numero originale. Se il cubo del numero risultante è maggiore del numero originale, prova a valutare un numero inferiore. In breve, devi trovare due numeri i cui cubi sono leggermente più grandi e leggermente più piccoli del numero originale.
   • Nel nostro esempio ${ stile di visualizzazione 8,44 * 8,44 * 8,44 = 601,2}$... Questo è leggermente più grande del numero originale, quindi valuta un altro numero (più piccolo), ad esempio 8.43: ${ stile di visualizzazione 8,43 * 8,43 * 8,43 = 599,07}$... Pertanto, la radice cubica di 600 è compresa tra 8,43 e 8,44.
7. 7 Segui questo processo finché non ottieni una risposta che ti soddisfi. Valuta il numero successivo, confrontalo con l'originale, quindi valuta un altro numero se necessario e così via. Nota che ogni cifra aggiuntiva dopo la virgola aumenta la precisione della tua risposta.
   • Nel nostro esempio, il cubo del numero 8,43 è inferiore al numero originale di meno di 1. Se hai bisogno di maggiore precisione, fai il cubo del numero 8,434 e ottienilo ${ stile di visualizzazione 8.434 ^ {3} = 599,93}$, ovvero il risultato è meno di 0,1 in meno rispetto al numero originale.

Parte 3 di 3: Spiegazione del processo di calcolo descritto

1. 1 Ricorda la serie binomiale. Una serie binomiale è il risultato dell'elevazione di un binomio (binomio) a una certa potenza, in questo caso a un cubo. Per comprendere l'algoritmo di estrazione della radice cubica descritto qui, ricorda prima come un binomio è cubo. È probabile che tu l'abbia imparato a scuola (e probabilmente l'hai dimenticato presto, come fa la maggior parte delle persone). Variabili ${ stile di visualizzazione A}$ e ${ stile di visualizzazione B}$ segnare alcune singole cifre. Quindi il numero a due cifre può essere scritto come un binomio ${ stile di visualizzazione (10A + B)}$.
   • Qui il membro ${ stile di visualizzazione 10A}$ rappresenta il posto delle decine, cioè se ${ stile di visualizzazione A}$ È un numero a una cifra, allora ${ stile di visualizzazione 10A}$ - questo è già il numero a due cifre corrispondente. Ad esempio, se ${ stile di visualizzazione A}$ = 2, e ${ stile di visualizzazione B}$ = 6, quindi ${ stile di visualizzazione (10A + B)}$ = 26, ovvero hai un numero a due cifre 26.
2. 2 Cubo il binomio. Eseguire questa operazione per comprendere il processo di estrazione della radice cubica descritto nella prima sezione. Calcolare ${ stile di visualizzazione (10A + B) ^ {3}}$ = ${ stile di visualizzazione (10A + B) * (10A + B) * (10A + B)}$ = ${ displaystyle 1000A ^ {3} + 300A ^ {2} B + 30AB ^ {2} + B ^ {3}}$ (qui abbiamo omesso diverse fasi di costruzione del cubo, per non ingombrare l'articolo con i calcoli).
   • Una spiegazione dettagliata può essere trovata qui.
3. 3 Comprendere l'algoritmo della divisione lunga. Nota che il metodo della radice cubica qui descritto è molto simile alla divisione lunga. Quando dividi in una colonna, devi trovare il numero (quoziente), moltiplicato per il divisore, ottieni il dividendo. Nel metodo descritto, il risultato dell'estrazione della radice cubica (è scritto sopra il segno della radice) viene utilizzato come quoziente. Cioè, il risultato dell'estrazione della radice cubica può essere rappresentato come un binomio (10A + B). I valori esatti di A e B non sono importanti in questa fase: ricorda solo che il risultato può essere scritto come un binomio.
4. 4 Guarda la gamma binomiale. È la somma di quattro monomi, grazie alla quale è possibile comprendere il principio di funzionamento dell'algoritmo di estrazione della radice cubica. Si prega di notare che il moltiplicatore per ogni passaggio di estrazione della radice è uguale alla somma dei quattro termini che devono essere calcolati e sommati.
   • Il fattore per il primo termine è 1000. Per calcolare la prima cifra della risposta, devi prima trovare il cubo di un numero intero più vicino ma inferiore a un certo numero (ovvero il primo gruppo di tre cifre). Questo definisce il membro 1000A ^ 3 della serie binomiale.
   • Il moltiplicatore del secondo termine della serie binomiale è il numero 300 (${ stile di visualizzazione 3 * 10 ^ {2}}$ = 300). Ricordiamo che in ogni fase dell'estrazione della radice cubica, le cifre corrispondenti della risposta sono state moltiplicate per 300.
   • Il secondo termine in ogni fase dell'estrazione della radice è determinato dal terzo termine della serie binomiale, che è uguale a 30AB ^ 2.
   • Il terzo termine in ogni fase dell'estrazione della radice è determinato dal quarto termine della serie binomiale, che è uguale a B ^ 3.
5. 5 Notare l'aumento della precisione della risposta. Più fasi di estrazione della radice attraversi, più accurata sarà la risposta. Ad esempio, in questo articolo, dovevi estrarre la radice cubica di 10. Nella prima fase, la risposta è 2, poiché ${ stile di visualizzazione 2 ^ {3}}$ = 8, che è vicino, ma inferiore a 10. Nella seconda fase, la risposta è 2.1, perché ${ stile di visualizzazione 2.1 ^ {3} = 9.261}$, che è molto più vicino a 10. Nella terza fase, la risposta è 2.15, poiché ${ stile di visualizzazione 2,15 ^ {3} = 9,94}$... Puoi continuare il calcolo utilizzando gruppi di tre cifre per migliorare la precisione della tua risposta.

Consigli

• Pratica per padroneggiare i metodi descritti. Più ti eserciti, più velocemente eseguirai i calcoli.

Avvertenze

• È abbastanza facile commettere un errore nel processo di calcolo. Quindi assicurati di controllare la risposta.

Di che cosa hai bisogno

• Penna o matita
• Carta
• Governate
• Gomma