Contenuto

• Passi
• Parte 1 di 2: angoli in radianti
• Parte 2 di 2: coordinate x-y (coseno, seno)
• Consigli

Il cerchio unitario viene utilizzato non solo in trigonometria e geometria, ma anche in altri rami della matematica. A prima vista, ricordare tutti i punti singolari su di esso è piuttosto difficile, ma se comprendi il principio di base, puoi facilmente usare il cerchio unitario.

Passi

Parte 1 di 2: angoli in radianti

1. 1 Disegna due linee perpendicolari. Prendi un grande pezzo di carta e un righello e disegna linee verticali e orizzontali. Il punto di intersezione di queste linee dovrebbe trovarsi approssimativamente al centro del foglio. Questi saranno gli assi X e sì.
2. 2 Disegna un cerchio. Prendi un compasso, metti il ​​suo ago all'intersezione delle linee e disegna un grande cerchio.
3. 3 Acquisire familiarità con il concetto di radiante. Il radiante è l'unità di misura degli angoli. Per definizione, un angolo di un radiante taglia la circonferenza dell'unità raggio un arco di lunghezza unitaria. In tutta questa sezione, i punti saranno indicati dai loro valori corrispondenti in radianti. Se ricordi la relazione tra la circonferenza di un cerchio e il suo raggio, puoi facilmente determinare questi valori lungo il cerchio unitario, anche se li hai dimenticati.
   • Quando si misurano gli angoli lungo il cerchio unitario, il punto con coordinate (0; 1) viene sempre preso come punto di partenza. Per chiarezza, puoi immaginare il cerchio unitario sotto forma di una rosa dei venti, quindi il punto di riferimento corrisponderà alla direzione est.
4. 4 Ricorda che la lunghezza totale del cerchio unitario è 2π. La circonferenza è 2πR, dove R - il suo raggio. Poiché il raggio del cerchio unitario è 1, la sua lunghezza è 2π. Da qui puoi trovare il valore in radianti per ogni punto del cerchio: prendi 2π e dividi per la frazione del cerchio che corrisponde a questo punto. Questo è molto più semplice che cercare di imparare i valori in ogni punto del cerchio unitario.
5. 5 Segna quattro punti sugli assi X e sì. Questi punti divideranno il cerchio in quattro quadranti (quarti):
   • "est" è il punto di riferimento, quindi corrisponde a 0 radianti;
   • "nord" = ¼ cerchio = /₄ = /₂ radianti;
   • "ovest" = semicerchio = /₂ = π radianti;
   • "sud" = tre quarti di cerchio = 2π * ¾ = /₂ radianti;
   • dopo aver percorso l'intero cerchio, torniamo al punto di partenza, quindi insieme a 0 può essere assegnato il valore 2π.
6. 6 Dividi il cerchio in otto parti. Disegna linee rette al centro di ciascun quadrante in modo che vengano dimezzati. Per i punti di intersezione delle linee con un cerchio, otteniamo i seguenti valori in radianti:
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • (i punti π / 2, π, 3π / 2 e 2π sono già contrassegnati).
7. 7 Dividi il cerchio in sei parti. Disegna linee aggiuntive che dividono il cerchio in sei parti. Puoi usare un goniometro per questo: inizia dalla direzione positiva dell'asse X e mettere da parte angoli di 60 gradi. Utilizzando il metodo sopra descritto, è facile determinare che la sesta parte del cerchio è /₆ = /₃ radianti. Ora possiamo segnare i punti di intersezione delle nuove linee con il cerchio (uno in ogni quadrante):
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • (i valori di π e 2π sono già stati annotati).
8. 8 Disegna linee che dividono il cerchio in 12 parti. Resta da dividere il cerchio unitario in 12 parti uguali. Di questi punti, solo quattro non erano stati precedentemente notati:
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆.

Parte 2 di 2: coordinate x-y (coseno, seno)

1. 1 Acquisire familiarità con i concetti di seno e coseno. Il cerchio unitario è ottimo per lavorare con triangoli rettangolari. Coordinate X i punti che giacciono sul cerchio sono uguali a cos (θ), e le coordinate sì corrispondono a sin (θ), dove θ è l'angolo.
   • Se trovi difficile ricordare questa regola, ricorda solo che nella coppia (cos; sin) "seno è all'ultimo posto".
   • Questa regola può essere dedotta se consideriamo i triangoli rettangoli e la definizione di queste funzioni trigonometriche (il seno dell'angolo è uguale al rapporto tra la lunghezza dell'opposto e il coseno è la gamba adiacente all'ipotenusa).
2. 2 Scrivi le coordinate dei quattro punti sul cerchio. Un "cerchio unitario" è un cerchio il cui raggio è uguale a uno. Usalo per determinare le coordinate X e sì in quattro punti di intersezione degli assi coordinati con il cerchio. Sopra, abbiamo designato questi punti per chiarezza come "est", "nord", "ovest" e "sud", sebbene non abbiano un nome stabilito.
   • "Est" corrisponde a un punto con coordinate (1; 0).
   • "Nord" corrisponde a un punto con coordinate (0; 1).
   • "Ovest" corrisponde a un punto con coordinate (-1; 0).
   • "Sud" corrisponde a un punto con coordinate (0; -1).
   • Questo è lo stesso di un grafico normale, quindi non è necessario memorizzare questi valori, basta ricordare il principio di base.
3. 3 Ricorda le coordinate dei punti nel primo quadrante. Il primo quadrante si trova in alto a destra del cerchio, dove sono le coordinate X e sì assumere valori positivi. Queste sono le uniche coordinate che devi ricordare:
   • punto /₆ ha coordinate (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • punto /₄ ha coordinate (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$);
   • punto /₃ ha coordinate (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • si noti che il numeratore accetta solo tre valori. Se ti muovi nella direzione positiva (da sinistra a destra lungo l'asse X e dal basso verso l'alto lungo l'asse sì), il numeratore assume i valori 1 → √2 → √3.
4. 4 Disegna linee rette e determina le coordinate dei punti della loro intersezione con il cerchio. Se disegni linee rette orizzontali e verticali dai punti di un quadrante, i secondi punti di intersezione di queste linee con il cerchio avranno coordinate X e sì con gli stessi valori assoluti, ma segni diversi. In altre parole, si possono tracciare linee orizzontali e verticali dai punti del primo quadrante e segnare i punti di intersezione con il cerchio con le stesse coordinate, ma allo stesso tempo lasciare spazio al segno corretto ("+" o "- ") sulla sinistra.
   • Ad esempio, puoi tracciare una linea orizzontale tra punti /₃ e /₃... Poiché il primo punto ha coordinate (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$), le coordinate del secondo punto saranno (?${ displaystyle { frac {1} {2}},? { frac { sqrt {3}} {2}}}$), dove viene inserito un punto interrogativo al posto del segno "+" o "-".
   • Usa il metodo più semplice: annota i denominatori delle coordinate del punto in radianti. Tutti i punti con denominatore 3 hanno gli stessi valori di coordinate assolute. Lo stesso vale per i punti con denominatori 4 e 6.
5. 5 Usa le regole di simmetria per determinare il segno delle coordinate. Esistono diversi modi per determinare dove inserire il segno "-":
   • ricorda le regole di base per i grafici regolari. Asse X negativo a sinistra e positivo a destra. Asse sì negativo sotto e positivo sopra;
   • iniziare nel primo quadrante e tracciare linee verso altri punti. Se la linea attraversa l'asse sì, coordinare X cambierà segno. Se la linea attraversa l'asse X, il segno della coordinata cambierà sì;
   • si ricorda che nel primo quadrante tutte le funzioni sono positive, nel secondo solo il seno è positivo, nel terzo solo la tangente è positiva, e nel quarto solo il coseno è positivo;
   • qualunque sia il metodo utilizzato, il primo quadrante dovrebbe essere (+, +), il secondo (-, +), il terzo (-, -) e il quarto (+, -).
6. 6 Controlla se sbagli. Di seguito è riportato un elenco completo delle coordinate dei punti "speciali" (ad eccezione di quattro punti sugli assi delle coordinate), se ci si sposta lungo il cerchio unitario in senso antiorario. Ricorda che per determinare tutti questi valori è sufficiente ricordare le coordinate dei punti solo nel primo quadrante:
   • primo quadrante: (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • secondo quadrante: (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • terzo quadrante: (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • quarto quadrante: (${ displaystyle { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$).

Consigli

• Se hai bisogno di usare il cerchio unitario per un test o un esame, disegnalo su una bozza.
• Con un po' di pratica, dovresti essere in grado di disegnare rapidamente un cerchio unitario. Nel tempo, sarai solo in grado di disegnare assi X e sì o anche fare a meno di un diagramma.