Contenuto

• Al passo
• Metodo 1 di 2: estrazione delle radici con fattori primi
• Metodo 2 di 2: trovare le radici quadrate senza una calcolatrice
• Con lunga divisione
• Comprendi la procedura
• Suggerimenti
• Avvertenze

Prima dell'avvento delle calcolatrici, sia gli studenti che i professori dovevano calcolare le radici quadrate con carta e penna. All'epoca sono state sviluppate varie tecniche per affrontare questo lavoro a volte difficile, alcune delle quali forniscono una stima approssimativa e altre calcolano il valore esatto. Continua a leggere per scoprire come trovare la radice quadrata di un numero in pochi semplici passaggi.

Al passo

Metodo 1 di 2: estrazione delle radici con fattori primi

1. Dividi il tuo numero in fattori di potenza. Questo metodo utilizza i fattori di un numero per trovare la radice quadrata di un numero (a seconda del numero, può essere una risposta esatta o una stima). Il fattori di un dato numero sono qualsiasi sequenza di numeri che vengono moltiplicati insieme per formare quel particolare numero. Ad esempio, puoi dire che i fattori di 8 sono uguali a 2 e 4 perché 2 × 4 = 8. I quadrati perfetti, invece, sono numeri interi che sono il prodotto di altri numeri interi. Ad esempio, 25, 36 e 49 sono quadrati perfetti perché sono uguali rispettivamente a 5, 6 e 7. I fattori di seconda potenza, come avrai capito, sono fattori che sono anche quadrati perfetti. Per trovare una radice quadrata utilizzando fattori primi, prova prima a dividere il numero nei suoi secondi fattori di potenza.
   • Prendiamo il seguente esempio. Troveremo la radice quadrata di 400. Per cominciare, dividiamo il numero in fattori di potenza. Poiché 400 è un multiplo di 100, sappiamo che è divisibile uniformemente per 25: un quadrato perfetto. La meccanica rapida ci dice che anche 400/25 = 16,16 è un quadrato perfetto. Quindi i fattori cubi di 400 sono 25 e 16 perché 25 × 16 = 400.
   • Scriviamo questo come: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Prendi le radici quadrate dei tuoi secondi fattori di potenza. La regola del prodotto delle radici quadrate afferma che per ogni dato numero un e b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). A causa di questa proprietà, ora possiamo prendere le radici quadrate dei fattori quadrati e moltiplicarle insieme per ottenere la risposta.
   • Nel nostro esempio, prendiamo le radici quadrate di 25 e 16. Vedi sotto:
     • Mq (25 × 16)
     • Mq (25) × Mq (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Se il tuo numero non può essere calcolato perfettamente, semplificalo. In realtà, i numeri di cui vuoi determinare le radici quadrate non saranno bei numeri arrotondati con bei quadrati come 400. In questi casi, potrebbe non essere possibile ottenere un numero intero come risposta. Invece, utilizzando tutti i fattori di potenza che riesci a trovare, puoi determinare la risposta come radice quadrata più piccola e più facile da usare. A tale scopo, ridurre il numero a una combinazione di fattori di potenza e altri fattori, quindi semplificarlo.
   • Prendiamo come esempio la radice quadrata di 147. 147 non è il prodotto di due quadrati perfetti, quindi non possiamo ottenere un bel valore intero. Ma è il prodotto di un quadrato perfetto e un altro numero - 49 e 3. Possiamo usare queste informazioni per scrivere la nostra risposta nei termini più semplici:
     • Mq (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × Mq (3)
4. Semplifica, se necessario. Usando la radice quadrata nei termini più semplici, di solito è abbastanza facile ottenere una stima approssimativa della risposta stimando le radici quadrate rimanenti e moltiplicandole. Un modo per migliorare le tue ipotesi è trovare i quadrati perfetti su entrambi i lati del numero nella radice quadrata. Sai che il valore decimale del numero nella tua radice quadrata è da qualche parte tra questi due numeri, quindi anche la tua ipotesi dovrà essere compresa tra questi numeri.
   • Torniamo al nostro esempio. Poiché 2 = 4 e 1 = 1, sappiamo che Sqrt (3) è compreso tra 1 e 2 - probabilmente più vicino a 2 di 1. Stimiamo che 1.7. 7 × 1.7 = 11,9. Se controlliamo questo con la calcolatrice, vediamo che siamo abbastanza vicini alla risposta: 12,13.
     • Questo funziona anche per i numeri più grandi. Ad esempio, sqrt (35) è approssimativamente compreso tra 5 e 6 (probabilmente più vicino a 6). 5 = 25 e 6 = 36,35 è compreso tra 25 e 36, quindi la radice quadrata sarà compresa tra 5 e 6. Poiché 35 è appena inferiore a 36, ​​possiamo dire con una certa sicurezza che la radice quadrata di esso appena è inferiore a 6. Il controllo con una calcolatrice ci dà una risposta di circa 5,92 - avevamo ragione.
5. In alternativa, come primo passaggio, puoi semplificare il numero in minimo comune multiplo. La ricerca dei fattori di potenza non è necessaria se puoi trovare facilmente i fattori primi di un numero (fattori che sono anche numeri primi allo stesso tempo). Scrivi il numero in termini di multipli minimi comuni. Quindi cerca tra i tuoi fattori per trovare coppie di numeri primi corrispondenti. Quando trovi due fattori primi che corrispondono, rimuovili dalla radice quadrata e posizionali un di questi numeri al di fuori del segno della radice quadrata.
   • Ad esempio, determiniamo la radice quadrata di 45 utilizzando questo metodo. Sappiamo che 45 = 9 × 5 e che 9 = 3 × 3. Quindi possiamo scrivere la radice quadrata in questo modo: Sqrt (3 × 3 × 5). Basta eliminare i 3 e posizionare un 3 fuori dalla radice quadrata per ottenere una radice quadrata semplificata: (3) Sqrt (5). Ora puoi facilmente fare un preventivo.
   • Un ultimo esempio; determiniamo la radice quadrata di 88:
     • Mq (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Abbiamo diversi 2 nella nostra radice quadrata. Poiché 2 è primo, possiamo rimuovere una coppia e posizionare un 2 fuori dalla radice.
     • = La nostra radice quadrata in termini più semplici è (2) Sqrt (2 × 11) o (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Ora possiamo avvicinarci a Sqrt (2) e Sqrt (11) e trovare una risposta approssimativa, se lo desideriamo.

Metodo 2 di 2: trovare le radici quadrate senza una calcolatrice

Con lunga divisione

1. Dividi le cifre del tuo numero in coppie. Questo metodo è simile alla divisione lunga, che consente di dividere il file esatto radice quadrata di un numero cifra per cifra. Sebbene non sia essenziale, suddividere un numero in parti lavorabili può facilitare la risoluzione, soprattutto se è lungo. Disegna prima una linea verticale che divide l'area di lavoro in 2 aree, quindi una linea più corta vicino alla parte superiore dell'area destra, dividendola in una parte superiore più piccola e una parte più grande in basso. Quindi dividi il numero in coppie di numeri, partendo dal punto decimale. In base a questa regola, 79520789182.47897 diventa "7 95 20 78 91 82,47 89 70". Scrivi questo numero nell'area in alto a sinistra.
   • Ad esempio, calcoliamo la radice quadrata di 780,14. Dividi il tuo spazio di lavoro come sopra e scrivi "7 80, 14" nell'angolo in alto a sinistra. Va bene se c'è un solo numero all'estrema sinistra, invece di due. Quindi scrivi la risposta (la radice quadrata di 780,14) nella parte superiore dell'area destra.
2. Trova il numero intero più grande n il cui quadrato è minore o uguale alla cifra o al numero più a sinistra. Trova il quadrato più grande minore o uguale a questo numero, quindi trova la radice quadrata di questo quadrato. Questo numero è n. Scrivilo nell'area in alto a destra e scrivi il quadrato di n nel quadrante inferiore di quell'area.
   • Nel nostro esempio, la cifra più a sinistra è il numero 7. Poiché sappiamo che 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, possiamo dire che n = 2 perché questo è il numero intero più grande il cui quadrato è minore o uguale a 7. Scrivi 2 nel quadrante in alto a destra. Questa è la prima cifra della risposta. Scrivi 4 (il quadrato di 2) nel quadrante in basso a destra. Questo numero è importante per il passaggio successivo.
3. Sottrai il numero che hai calcolato della cifra o del numero più a sinistra. Come con la divisione lunga, il passaggio successivo consiste nel sottrarre il quadrato dal numero che abbiamo appena usato per il calcolo. Scrivi questo numero sotto il numero più a sinistra e sottrailo. Scrivi la risposta qui sotto.
   • Nel nostro esempio, scriviamo un 4 sotto 7 e lo sottraiamo. Questo da 3 in risposta.
4. Sposta il numero successivo verso il basso. Posizionalo accanto al valore trovato nella modifica precedente. Moltiplica il numero in alto a destra per due e annotalo in basso a destra. Lascia uno spazio accanto al numero che hai appena annotato per la somma che farai nel passaggio successivo. Scrivi qui "_ × _ =" ".
   • Nel nostro esempio, il numero successivo è "80". Scrivi "80" accanto al 3 nel quadrante sinistro. Quindi moltiplica il numero in alto a destra per 2. Questo numero è 2, quindi 2 × 2 = 4. Scrivi "" 4 "" in basso a destra, seguito da _×_=.
5. Inserisci i numeri a destra. Nello spazio vuoto della somma (a destra), inserisci il numero intero più grande che renderà il risultato della somma della moltiplicazione a destra minore o uguale al numero corrente a sinistra.
   • Nel nostro esempio, inseriamo 8 e questo dà 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Questo è maggiore di 380. Quindi 8 è troppo grande, ma 7 probabilmente non lo è. Compila 7 e risolvi: 4 (7) × 7 = 329. 7 è buono perché 329 è minore di 380. Scrivi 7 in alto a destra. Questa è la seconda cifra nella radice quadrata di 780,14.
6. Sottrai il numero appena calcolato dal numero corrente a sinistra. Quindi sottrai il risultato della moltiplicazione a destra dalla risposta corrente a sinistra. Scrivi la tua risposta direttamente sotto di essa.
   • Nel nostro esempio, sottraiamo 329 da 380 e questo dà 51 come risultato.
7. Ripeti il ​​passaggio 4. Sposta la coppia di numeri successiva verso il basso da 780,14. Quando arrivi a una virgola, scrivi quella virgola nella risposta a destra. Quindi moltiplica il numero in alto a destra per 2 e scrivi la risposta accanto a ("_ × _") come sopra.
   • Nella nostra risposta ora scriviamo una virgola perché la troviamo anche in 780.14. Sposta la coppia successiva (14) in basso nel quadrante sinistro. 27 x 2 = 54, quindi scriviamo "54 _ × _ =" nel quadrante inferiore destro.
8. Ripeti i passaggi 5 e 6. Trova il numero più grande che fornisce una risposta minore o uguale al numero corrente a sinistra. Risolvere.
   • Nel nostro esempio, 549 × 9 = 4941, che è minore o uguale al numero a sinistra (5114). 549 × 10 = 5490, che è troppo alto, quindi 9 è la nostra risposta. Scrivi 9 come numero successivo in alto a destra e sottrai il risultato della moltiplicazione dal numero a sinistra: 5114-4941 = 173.
9. Per rendere il risultato accurato, ripetere la procedura precedente fino a trovare la risposta con il numero di cifre decimali (centesimi, millesimi) di cui hai bisogno.

Comprendi la procedura

1. Considera il numero di cui vuoi calcolare la radice quadrata come l'area S di un quadrato. Poiché l'area di un quadrato è L, dove L è la lunghezza di uno dei suoi lati, quindi trovando la radice quadrata del tuo numero, provi a calcolare la lunghezza L del lato di quel quadrato.
2. Assegna una lettera a ogni cifra della tua risposta. Inserisci la variabile A come prima cifra di L (la radice quadrata che stiamo cercando di calcolare). B è la seconda cifra, C la terza e così via.
3. Dai una lettera a ciascuna "coppia di numeri" del numero con cui inizi. Dai la variabile S_un alla prima coppia di cifre in S (il valore iniziale), S._b alla seconda coppia di cifre, ecc.
4. Comprendi la relazione tra questo metodo e la divisione lunga. Questo metodo per trovare una radice quadrata è essenzialmente una divisione lunga, in cui dividi il valore iniziale per la sua radice quadrata e "dai" la radice quadrata come risposta. Come con la divisione lunga, dove sei interessato solo alla cifra successiva alla volta, sei interessato solo alle due cifre successive alla volta (che corrispondono alla cifra successiva della radice quadrata).
5. Trova il numero più grande il cui quadrato è minore o uguale a S._un è. La prima cifra A nella nostra risposta è quindi il numero intero più grande il cui quadrato non è maggiore di S._un (A tale che A² ≤ Sa (A + 1) ²). Nel nostro esempio, S_un = 7 e 2² ≤ 7 3², quindi A = 2.
   • Nota che se dividi 88962 per 7 usando la divisione lunga, il primo passo è uguale: prima gestisci la prima cifra di 88962 (8) e vuoi che la cifra più grande moltiplicata per 7 che sia minore o uguale a 8. Essenzialmente tu determinare d tale che 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). In questo caso, d è uguale a 1.
6. Visualizza il quadrato di cui vuoi trovare l'area. La tua risposta, la radice quadrata del valore iniziale, è L, che descrive la lunghezza di un quadrato con area S (il valore iniziale). I valori per A, B e C rappresentano le cifre nel valore L. Un altro modo per dirlo è che per una risposta a 2 cifre, 10A + B = L, e per una risposta a 3 cifre, 100A + 10B + C = L e così via.
   • Nel nostro esempio (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Ricorda che 10A + B rappresenta la nostra risposta L insieme a B nella posizione delle unità e A nella posizione delle decine. Ad esempio, se A = 1 e B = 2, allora 10A + B è il numero 12. (10A + B) ² è l'area dell'intera piazza, mentre 100A² è l'area della piazza interna più grande, B² è l'area della piazza più piccola e 10A × B è l'area di ciascuno dei rettangoli rimanenti. Attraverso questa procedura lunga e complicata, possiamo trovare l'area dell'intero quadrato sommando le aree dei quadrati e dei rettangoli che ne fanno parte.
7. Sottrai A² da S._un. Porta un paio di numeri (S._b) scendendo dal numero S. S._un S._b è quasi la superficie totale della piazza, da cui è stata appena sottratta l'area della piazza interna più grande. Il resto è, diciamo, il numero N1, che abbiamo ottenuto nel passaggio 4 (N1 = 380 nel nostro esempio). N1 è uguale a 2 × 10A × B + B² (l'area dei 2 rettangoli più l'area del quadratino).
8. Guarda N1 = 2 × 10A × B + B², scritto anche come N1 = (2 × 10A + B) × B. Nel nostro esempio, conosci già N1 (380) e A (2), quindi ora devi trovare B. B probabilmente non è un numero intero, quindi devi farlo in realtà trova il numero intero B più grande, tale che (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Quindi ora hai: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Risolvi l'equazione. Per risolvere questa equazione, moltiplica A per 2, spostalo su dieci (moltiplica per 10), metti B nelle unità e moltiplica il risultato per B. In altre parole, (2 × 10A + B) × B. Questo è esattamente quello che fai quando scrivi "N_ × _ =" (con N = 2 × A) nel quadrante in basso a destra nel passaggio 4. Nel passaggio 5 determini il numero intero più grande B che sta sotto la linea, quindi (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Sottrai l'area (2 × 10A + B) × B dall'area totale. Questo dà l'area S- (10A + B) ² che non hai ancora preso in considerazione (e che usi per calcolare i seguenti numeri allo stesso modo).
11. Per calcolare la cifra successiva C, ripetere la procedura. Sposta la coppia di numeri successiva da S verso il basso (S_c) per ottenere N2 a sinistra e cercare il C più grande in modo da avere ora: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (uguale al doppio del numero di due cifre "AB" seguito di "_ × _ =" Ora determina il numero più grande che puoi inserire qui, che ti darà una risposta minore o uguale a N2.

Suggerimenti

• Spostando la virgola di due posizioni (un fattore di 100) si sposta la virgola nella radice quadrata corrispondente di una posizione (un fattore di 10).
• Nell'esempio, 1,73 potrebbe essere considerato "resto": 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Questo metodo funziona per qualsiasi sistema numerico, non solo per il sistema decimale (decimale).
• Sentiti libero di posizionare i calcoli dove vuoi. Alcune persone lo scrivono sopra il numero di cui vogliono calcolare la radice quadrata.
• Un metodo alternativo è il seguente: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Ad esempio, per calcolare la radice quadrata di 780,14, prendi l'intero il cui quadrato è più vicino a 780,14 (28), quindi = 780,14, x = 28 e y = -3,86. Compilando e stimando ci dà x + y / (2x) e questo dà (termini semplificati) 78207/2800 o circa 27,931 (1); il seguente termine, 4374188/156607 o circa 27.930986 (5). Ogni termine aggiunge circa 3 cifre decimali di precisione al precedente.

Avvertenze

• Assicurati di dividere il numero in coppie dal punto decimale. Dividendo 79520789182.47897 come "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "dà un risultato errato.