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• Passi
• Consigli

Se sei un matematico o un programmatore grafico, probabilmente dovrai trovare l'angolo tra due dati vettori. In questo articolo, wikiHow ti mostra come farlo.

Passi

Parte 1 di 2: trova l'angolo tra due vettori

1. 

   Definizione di vettore. Annota tutte le informazioni riguardanti i due vettori che hai. Supponiamo di avere solo i parametri specificati delle loro coordinate dimensionali (chiamate anche componenti). Se conosci già la lunghezza (grandezza) di un vettore, puoi saltare alcuni dei passaggi seguenti.
   • Esempio: vettore bidimensionale = (2,2) e vettore bidimensionale = (0,3). Possono anche essere scritti come = 2io + 2j e = 0io + 3j = 3j.
   • Sebbene nell'esempio di questo articolo vengano utilizzati vettori bidimensionali, le seguenti istruzioni possono essere applicate a vettori con qualsiasi numero di dimensioni.

2. 

   
   
   Scrivi la formula del coseno. Per trovare l'angolo θ tra due vettori, iniziamo con la formula per trovare il coseno per quell'angolo. Puoi conoscere questa formula di seguito o semplicemente scriverla in questo modo:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| significa "lunghezza del vettore".
   • • è il prodotto scalare dei due vettori - questo verrà spiegato di seguito.

3. 

   
   
   Calcola la lunghezza di ogni vettore. Immagina che un triangolo rettangolo sia composto dai componenti x, y del vettore e dal vettore stesso. Il vettore forma l'ipotenusa del triangolo, quindi per trovare la sua lunghezza usiamo il teorema di Pitagora. In effetti, questa formula può essere facilmente estesa a un vettore di qualsiasi numero di dimensioni.
   • || u || = u₁ + u₂. Se un vettore ha più di due elementi, devi solo continuare ad aggiungere + u₃ + u₄ +...
   • Quindi, per un vettore bidimensionale, || u || = √ (u₁ + u₂).
   • In questo esempio, |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Calcola il prodotto scalare di due vettori. Forse hai imparato il metodo della moltiplicazione vettoriale, noto anche come scalare Questo. Per calcolare il prodotto scalare relativo alla loro composizione, moltiplica insieme gli ingredienti in ciascuna direzione, quindi somma l'intero risultato.
   • Per il programma di grafica, fare riferimento a Suggerimenti prima di continuare a leggere.
   • In matematica • = u₁v₁ + u₂v₂, dove, u = (u₁, u₂). Se il vettore ha più di due elementi, aggiungi semplicemente + u₃v₃ + u₄v₄...
   • In questo esempio, • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Questo è il prodotto scalare del vettore e del vettore.

5. 

   Inserisci i risultati nella formula. Ricorda che cosθ = (•) / (|||| || ||). Ora conosciamo sia il prodotto scalare che la lunghezza di ogni vettore. Inseriscili nella formula per calcolare il coseno dell'angolo.
   • Nel nostro esempio, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Trova l'angolo in base al suo coseno. È possibile utilizzare la funzione arccos o cos in una calcolatrice per trovare θ da un valore cos noto. Con alcuni risultati, potresti trovare l'angolo in base al cerchio unitario.
   • Nell'esempio, cosθ = √2 / 2. Immettere "arccos (√2 ​​/ 2)" nella calcolatrice per trovare l'angolo. Oppure puoi trovare l'angolo θ sul cerchio unitario, nella posizione cosθ = √2 / 2. È vero per θ = /₄ o 45º.
   • Combinando tutto, la formula finale è: angolo θ = arcoseno ((•) / (|||| || ||))
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Parte 2 di 2: determinazione della formula dell'angolo

1. 

   Comprendi lo scopo della formula. Questa formula non è stata derivata dalle regole esistenti. Invece, è formato come la definizione del prodotto scalare e dell'angolo tra i due vettori. Anche così, non è stata una decisione arbitraria. Tornando alla geometria di base, possiamo capire perché questa formula fornisce definizioni intuitive e utili.
   • Gli esempi seguenti utilizzano vettori bidimensionali perché sono i più facili da capire e i più semplici. I vettori tridimensionali o più hanno proprietà definite da formule generali quasi simili.

2. 

   Ripassa il teorema di Coseno. Considera un triangolo ordinario con angolo θ tra i lati aeb, lato opposto c. Il teorema del coseno afferma che c = a + b -2abcos(θ). Questo risultato è tratto molto semplicemente dalla geometria di base.

3. 

   Collega due vettori, formando un triangolo. Disegna una coppia di vettori bidimensionali su carta, vettori e vettori, con θ l'angolo tra di loro. Disegna un terzo vettore tra questi due per creare un triangolo. In altre parole, disegna un vettore tale che + =. Vettore = -.

4. 

   Scrivi il teorema del coseno per questo triangolo. Sostituisci la lunghezza del lato del nostro "triangolo vettoriale" nel teorema del coseno:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||cos(θ)

5. 

   Riscrivi con prodotto scalare. Ricorda, un prodotto scalare è l'immagine di un vettore sull'altro. Il prodotto scalare di un vettore con se stesso non richiede proiezione, perché qui non c'è differenza di direzione. Ciò significa • = || a ||. Usando questo, riscriviamo l'equazione:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)

6. 

   Riscritto con successo la stessa formula. Espandi il lato sinistro della formula, quindi semplifica per ottenere la formula utilizzata per trovare gli angoli.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • • = || a || || b ||cos(θ)
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Consigli

• Per modificare i valori e risolvere rapidamente il problema, utilizzare questa formula per qualsiasi coppia di vettori bidimensionali: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Se stai lavorando con un software di computer grafica, è probabile che dovrai preoccuparti solo delle dimensioni del vettore, non della loro lunghezza. Usa i seguenti passaggi per abbreviare un'equazione e velocizzare il tuo programma:
  • Normalizza ogni vettore in modo che siano uguali a 1. Per fare ciò, dividi ciascuno dei componenti del vettore per la sua lunghezza.
  • Ottieni il prodotto normalizzato dello scalare invece del vettore originale.
  • Poiché la lunghezza è 1, possiamo escludere gli elementi di lunghezza dall'equazione. Infine, l'equazione dell'angolo ottenuta è arccos (•).
• Sulla base della formula del coseno, possiamo determinare rapidamente se l'angolo è acuto o ottuso. Inizia con cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • I lati sinistro e destro dell'equazione devono avere lo stesso segno (positivo o negativo).
  • Poiché la lunghezza è sempre positiva, cosθ deve avere lo stesso segno del prodotto scalare.
  • Quindi, se il prodotto è positivo, anche cosθ è positivo. Siamo nel primo quadrante del cerchio unitario, con θ <π / 2 o 90º. L'angolo da trovare è l'angolo acuto.
  • Se il prodotto scalare è negativo, cosθ è negativo. Siamo nel secondo quadrante del cerchio unitario, con π / 2 <θ ≤ π o 90º <θ ≤ 180º. Quello è l'angolo della prigione.