Contenuto

• Passi
• Consigli
• avvertimento

L'inversione viene spesso utilizzata nel calcolo per semplificare i problemi problematici in altri modi. Ad esempio, è più facile moltiplicare per l'inverso di una frazione piuttosto che dividerlo direttamente per quel numero. Questo è il contrario. Allo stesso modo, poiché non ci sono segni di frazione per la matrice, dovrai moltiplicare la sua matrice inversa. Calcolare la matrice inversa di una matrice 3x3 può essere molto noioso, ma è un problema che vale la pena considerare. Puoi anche usare una calcolatrice grafica avanzata per farlo.

Passi

Metodo 1 di 3: crea una matrice aggiuntiva per trovare la matrice inversa

1. 

   Controlla il determinante della matrice. Il primo passo: trova il determinante della matrice. Se il determinante è 0, è fatto: questa matrice non è reversibile. Il determinante di una matrice M può essere denotato det (M).
   • Per trovare l'inverso di una matrice 3x3, devi prima calcolare il suo determinante.
   • Per esaminare come trovare il determinante di una matrice, fare riferimento all'articolo Trovare determinanti di matrice 3x3.

2. 

   
   
   Trasposizione matrice originale. Trasposizione significa riflettere la matrice lungo la diagonale principale, o in altre parole, scambiare l'elemento (i, j) e l'elemento (j, i). Quando si traspongono elementi di una matrice, la diagonale principale (che va dall'angolo superiore sinistro all'angolo inferiore destro) rimane costante.
   • Un altro modo per comprendere la trasposizione è che riscriverai la matrice in modo che la prima riga diventi la prima colonna, la riga centrale diventi la colonna centrale e la terza riga diventi la terza colonna. Notare gli elementi di colore nell'illustrazione sopra e notare la nuova posizione dei numeri.

3. 

   
   
   Trova il determinante di ciascuna sotto-matrice 2x2. Tutti gli elementi della nuova matrice di spostamento 3x3 sono collegati a una matrice "sub" 2x2 corrispondente. Per trovare la sotto-matrice di ogni elemento, evidenzia prima la riga e la colonna del primo elemento. Tutti e 5 gli elementi verranno evidenziati. I restanti quattro elementi formano la sub-matrice.
   • Nell'esempio precedente, se si desidera trovare la sub-matrice dell'elemento nella riga due, colonna uno, si evidenziano cinque parti di parole nella seconda riga e nella prima colonna. I restanti quattro elementi sono la corrispondente sotto-matrice.
   • Trova il determinante di ciascuna sotto-matrice moltiplicando diagonalmente e sottraendo due prodotti l'uno dall'altro, come mostrato nella figura sopra.
   • Leggi di più per saperne di più sulle matrici secondarie e sul loro utilizzo.

4. 

   
   
   Crea una matrice di sottosezioni algebriche. Posizionare il risultato ottenuto dal passaggio precedente in una nuova matrice composta da sottosezioni algebriche posizionando ciascun determinante di sub-matrice nella posizione corrispondente nella matrice originale. Pertanto, il determinante calcolato dall'elemento (1,1) della matrice originale verrà posizionato nella posizione (1,1). Successivamente, sarà necessario modificare il segno di sostituzione di questa nuova matrice in base alla tabella di riferimento mostrata nell'illustrazione sopra.
   • Quando si determina il segno, viene mantenuto il segno della prima molecola della guida. Il segno del secondo elemento è invertito. Il segno del terzo elemento è conservato. Continua così per il resto della matrice. Notare che il segno (+) o (-) nel grafico di riferimento non indica che fino alla fine l'elemento porterà un segno positivo o negativo. Mostrano solo che gli elementi verranno mantenuti intatti (+) o modificati con (-).
   • Fare riferimento alle basi delle matrici per ulteriori informazioni sulle appendici algebriche.
   • Il risultato finale che otteniamo in questo passaggio è la matrice complementare della matrice originale. A volte è anche chiamata matrice coniugata ed è indicata con Adj (M).

5. 

   Dividi tutti gli elementi della matrice del complemento per il determinante. Usa il determinante della matrice M che hai calcolato nel primo passaggio (per verificare se la matrice è reversibile). Ora dividi ogni elemento della matrice per questo valore. Posiziona il quoziente di ciascuna divisione nella posizione dell'elemento originale e otteniamo la matrice inversa della matrice originale.
   • La matrice campione presentata nell'illustrazione ha determinante di 1. Pertanto, dividendo ogni elemento della matrice complementare per il determinante, otteniamo se stessa (non sarai sempre così fortunato). .
   • Invece di dividere, alcuni documenti dimostrano che questo passaggio moltiplica ogni elemento di M per 1 / det (M). Matematicamente, sono equivalenti.
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Metodo 2 di 3: diminuire la riga lineare per trovare la matrice inversa

1. 

   Aggiungi la matrice delle unità alla matrice originale. Scrivi la matrice di base M, traccia una linea verticale a destra di quella matrice, quindi scrivi la matrice di unità a destra di questa linea. A questo punto, abbiamo una matrice con tre righe e sei colonne.
   • Ricorda che la matrice identità è una matrice speciale con tutti gli elementi sulla diagonale principale, che vanno dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra, pari a 1 e tutti gli elementi nelle restanti posizioni uguali a zero.

2. 

   Eseguire una riduzione delle righe lineare. L'obiettivo qui è creare la matrice dell'unità nella parte sinistra della matrice appena espansa. Quando si eseguono i passaggi di riduzione delle righe a sinistra, è necessario eseguire la parte corrispondente a destra, la parte che è la matrice dell'unità.
   • Ricorda che la riduzione delle righe viene eseguita come una combinazione di moltiplicazione scalare e addizione o sottrazione di righe, al fine di isolare i singoli elementi della matrice.

3. 

   Continuare fino a formare la matrice dell'unità. Continuare la riduzione lineare fino a quando appare la matrice identità (gli elementi sulla diagonale sono uguali a 1, gli altri elementi sono uguali a 0) sulla parte sinistra della matrice espansa. Una volta raggiunto questo passaggio, la parte destra del divisore verticale è la matrice inversa della matrice originale.

4. 

   Riscrivi la matrice inversa. Duplica gli elementi attualmente sulla parte destra del divisore verticale e questa è la tua matrice inversa. annuncio pubblicitario

Metodo 3 di 3: trova la matrice inversa con la calcolatrice tascabile

1. 

   Scegli una calcolatrice in grado di risolvere le matrici. Un semplice calcolatore a quattro funzioni non sarà in grado di trovare direttamente la matrice inversa. Tuttavia, a causa della ripetizione matematica, una calcolatrice grafica avanzata, come Texas Instruments TI-83 o TI-86, può ridurre notevolmente il lavoro da svolgere.

2. 

   Inserisci la matrice nella calcolatrice. Innanzitutto, accedi alla funzione Matrix della tua calcolatrice premendo il tasto Matrix, se disponibile sul tuo dispositivo. Con la macchina Texas Instruments, dovrai premere 2 Matrix.

3. 

   Seleziona il sottomenu Modifica. Per accedere a questo sottomenu, potrebbe essere necessario utilizzare i pulsanti freccia o selezionare i tasti funzione appropriati situati nella riga superiore della tastiera del computer, a seconda del design.

4. 

   Scegli un nome per la tua matrice. La maggior parte delle calcolatrici tascabili è in grado di funzionare con 3-10 matrici, denominate lettere, dalla A alla J. Normalmente, iniziamo con. Premere il tasto Invio per confermare la selezione del nome.

5. 

   Immettere la dimensione della matrice. Questo articolo si concentra sulle matrici 3x3. Tuttavia, le calcolatrici tascabili possono gestire matrici più grandi. Immettere il numero di righe, premere Invio, quindi digitare il numero di colonna e premere Invio.

6. 

   Inserisci ogni elemento della matrice. Una matrice verrà visualizzata sullo schermo del computer. Se hai già lavorato con la funzione matrice, la matrice con cui hai lavorato prima apparirà sullo schermo. Il cursore segnerà il primo elemento della matrice. Immettere il valore della matrice che si desidera risolvere e premere Invio. Il cursore si sposterà automaticamente all'elemento successivo, sovrascrivendo eventuali valori precedenti.
   • Se desideri inserire numeri negativi, utilizza il pulsante negativo (-) della calcolatrice, non il tasto meno. La funzione matrice non verrà letta correttamente.
   • Se necessario, puoi utilizzare i tasti freccia sulla calcolatrice per spostarti nella matrice.

7. 

   Esci dalla funzione matrice. Dopo aver immesso l'intero valore della matrice, premere il tasto Quit - Exit (o 2 Quit, se necessario). Grazie a ciò, si esce dalla funzione Matrix e si torna alla schermata di visualizzazione principale della calcolatrice.

8. 

   Usa il tasto inverso per trovare la matrice inversa. Per prima cosa, riapri la funzione Matrix e usa il pulsante Nomi per selezionare il nome della matrice che hai usato per dare alla tua matrice (potrebbe essere). Quindi, premere il tasto inverso della calcolatrice ,. A seconda del dispositivo, potrebbe essere necessario utilizzare il pulsante 2. Viene visualizzata la schermata del display. Premi Invio e la matrice inversa apparirà sullo schermo.
   • Non utilizzare il pulsante ^ sul computer quando si tenta di inserire A ^ -1 con singoli clic. I computer non capiranno questa matematica.
   • Se ricevi un messaggio di errore quando premi il tasto inverso, è più probabile che la tua matrice genitore non sia reversibile. Forse dovresti tornare indietro ed essere qualitativo per determinare se questa è la causa dell'errore.

9. 

   Converti la matrice inversa nella risposta corretta. Il primo risultato restituito dal computer viene visualizzato in decimale. Questa non è necessariamente la risposta "corretta" per la maggior parte degli scopi. Se necessario, converti questa risposta decimale in una frazione (se sei abbastanza fortunato, tutti i risultati sono numeri interi. Tuttavia, è molto raro).
   • Forse la tua calcolatrice ha una funzione che converte automaticamente i decimali in frazioni. Ad esempio, quando si utilizza la TI-86, è possibile accedere alla funzione matematica, selezionare Misc, quindi Frac e premere Invio. I decimali verranno automaticamente rappresentati come frazioni.
10. La maggior parte delle calcolatrici grafiche ha parentesi quadre (per TI-84, ovvero 2 ° + x e 2 ° + -) che consentono di inserire una matrice senza utilizzare la funzione matrice. Nota: una calcolatrice potrebbe non formattare una matrice fino a quando non viene utilizzato il tasto invio / uguale (il che significa che tutto sarà sulla stessa riga e non molto bello). annuncio pubblicitario

Consigli

• Puoi seguire questi passaggi per trovare l'inverso di una matrice che non contiene solo numeri, ma anche variabili, incognite o persino espressioni algebriche.
• Annota tutti i passaggi perché trovare l'inverso di una matrice 3x3 semplicemente facendo dei calcoli è estremamente difficile.
• Esistono programmi di calcolo che ti aiutano a trovare matrici inverse, fino a 30x30 comprese.
• Indipendentemente dal metodo utilizzato, verifica l'accuratezza del risultato moltiplicando M per M. Confermerai che M * M = M * M = I. Dove, I è la matrice unitaria , è composto da elementi 1 situati lungo la diagonale principale e da zeri altrove. Se non ottieni tali risultati, devi esserti sbagliato da qualche parte.

avvertimento

• Non tutte le matrici 3x3 hanno matrici inverse. Se il determinante è 0, quella matrice non è reversibile (si noti che nella formula dividiamo per det (M). La divisione per zero è un'operazione matematica indefinita).