Contenuto

• Passi
• Metodo 1 di 3: Come trovare il lato sconosciuto
• Metodo 2 di 3: trovare un angolo sconosciuto
• Metodo 3 di 3: problemi di esempio
• Consigli

Il teorema del coseno è ampiamente utilizzato in trigonometria. Viene utilizzato quando si lavora con triangoli irregolari per trovare quantità sconosciute come lati e angoli. Il teorema è simile al teorema di Pitagora ed è abbastanza facile da ricordare. Il teorema del coseno dice che in ogni triangolo ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Passi

Metodo 1 di 3: Come trovare il lato sconosciuto

1. 1 Annota i valori conosciuti. Per trovare il lato sconosciuto di un triangolo, devi conoscere gli altri due lati e l'angolo tra loro.
   • Ad esempio, dato un triangolo XYZ. Il lato YX è 5 cm, il lato YZ è 9 cm e l'angolo Y è 89 °. Qual è il lato XZ?
2. 2 Scrivi la formula del teorema del coseno. Formula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, dove ${ stile di visualizzazione c}$ - festa sconosciuta, ${ displaystyle cos {C}}$ - coseno dell'angolo opposto al lato sconosciuto, ${ stile di visualizzazione a}$ e ${ stile di visualizzazione b}$ - due lati noti.
3. 3 Inserisci i valori noti nella formula. Variabili ${ stile di visualizzazione a}$ e ${ stile di visualizzazione b}$ denotano due lati noti. Variabile ${ stile di visualizzazione C}$ è l'angolo noto che si trova tra i lati ${ stile di visualizzazione a}$ e ${ stile di visualizzazione b}$.
   • Nel nostro esempio, il lato XZ è sconosciuto, quindi nella formula è indicato come ${ stile di visualizzazione c}$... Poiché i lati YX e YZ sono noti, sono indicati dalle variabili ${ stile di visualizzazione a}$ e ${ stile di visualizzazione b}$... Variabile ${ stile di visualizzazione C}$ è l'angolo Y. Quindi, la formula sarà scritta come segue: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Trova il coseno di un angolo noto. Fallo con una calcolatrice. Immettere un valore per l'angolo, quindi fare clic su ${ displaystyle COS}$... Se non hai una calcolatrice scientifica, trova una tabella del coseno online, ad esempio, qui. Anche in Yandex, puoi inserire "coseno di X gradi" (sostituisci il valore dell'angolo per X) e il motore di ricerca visualizzerà il coseno dell'angolo.
   • Ad esempio, il coseno è 89 ° ≈ 0,01745. Così: ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 Moltiplica i numeri. Moltiplicare ${ stile di visualizzazione 2ab}$ dal coseno di un angolo noto.
   • Per esempio:
     ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
6. 6 Piega i quadrati dei lati noti. Ricorda, per elevare al quadrato un numero, deve essere moltiplicato per se stesso. Per prima cosa, eleva al quadrato i numeri corrispondenti, quindi aggiungi i valori risultanti.
   • Per esempio:
     ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
     ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 Sottrai due numeri. Troverai ${ stile di visualizzazione c ^ {2}}$.
   • Per esempio:
     ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 104,4293}$
8. 8 Prendi la radice quadrata di questo valore. Per fare ciò, usa una calcolatrice. È così che trovi il lato sconosciuto.
   • Per esempio:
     ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 104,4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ stile di visualizzazione c = 10,2191}$
     Quindi, il lato sconosciuto è 10,2191 cm.

Metodo 2 di 3: trovare un angolo sconosciuto

1. 1 Annota i valori conosciuti. Per trovare l'angolo sconosciuto di un triangolo, devi conoscere tutti e tre i lati del triangolo.
   • Ad esempio, dato un triangolo RST. Lato CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm. Trova il valore dell'angolo S.
2. 2 Scrivi la formula del teorema del coseno. Formula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, dove ${ displaystyle cos {C}}$ - coseno di un angolo sconosciuto, ${ stile di visualizzazione c}$ - un lato noto opposto a un angolo sconosciuto, ${ stile di visualizzazione a}$ e ${ stile di visualizzazione b}$ - altre due feste famose.
3. 3 Trova i valori un{ stile di visualizzazione a}, B{ stile di visualizzazione b} e C{ stile di visualizzazione c}. Quindi inseriscili nella formula.
   • Ad esempio, il lato RT è opposto all'angolo sconosciuto S, quindi il lato RT è ${ stile di visualizzazione c}$ nella formula. Altre parti lo faranno ${ stile di visualizzazione a}$ e ${ stile di visualizzazione b}$... Quindi, la formula sarà scritta come segue: ${ stile di visualizzazione 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Moltiplica i numeri. Moltiplicare ${ stile di visualizzazione 2ab}$ dal coseno dell'angolo sconosciuto.
   • Per esempio, ${ stile di visualizzazione 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Eretto C{ stile di visualizzazione c} in una piazza. Cioè, moltiplica il numero stesso.
   • Per esempio, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Piega i quadrati un{ stile di visualizzazione a} e B{ stile di visualizzazione b}. Ma prima, eleva al quadrato i numeri corrispondenti.
   • Per esempio:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Isolare il coseno dell'angolo sconosciuto. Per fare ciò, sottrarre l'importo ${ displaystyle a ^ {2}}$ e ${ stile di visualizzazione b ^ {2}}$ da entrambi i lati dell'equazione. Quindi dividi ciascun lato dell'equazione per il fattore del coseno dell'angolo sconosciuto.
   • Ad esempio, per isolare il coseno di un angolo sconosciuto, sottrarre 164 da entrambi i lati dell'equazione, quindi dividere ciascun lato per -160:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 Calcola il coseno inverso. Questo troverà il valore dell'angolo sconosciuto. Sulla calcolatrice, è indicata la funzione coseno inverso ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Ad esempio, l'arcoseno di 0,0125 è 82,8192. Quindi l'angolo S è 82,8192°.

Metodo 3 di 3: problemi di esempio

1. 1 Trova il lato sconosciuto del triangolo. I lati noti sono 20 cm e 17 cm e l'angolo tra loro è di 68 °.
   • Dato che ti vengono dati due lati e l'angolo tra di loro, puoi usare il teorema del coseno. Scrivi la formula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Il lato sconosciuto è ${ stile di visualizzazione c}$... Inserisci i valori noti nella formula: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Calcolare ${ stile di visualizzazione c ^ {2}}$, osservando l'ordine delle operazioni matematiche:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0,3746)}$
     ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 689-254.7325}$
     ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 434.2675}$
   • Prendi la radice quadrata di entrambi i membri dell'equazione. Ecco come trovare il lato sconosciuto:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ stile di visualizzazione c = 20,8391}$
     Quindi, il lato sconosciuto è 20,8391 cm.
2. 2 Trova l'angolo H nel triangolo GHI. I due lati adiacenti all'angolo H sono 22 e 16 cm Il lato opposto all'angolo H è 13 cm.
   • Poiché tutti e tre i lati sono dati, è possibile utilizzare il teorema del coseno. Scrivi la formula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Il lato opposto all'angolo sconosciuto è ${ stile di visualizzazione c}$... Inserisci i valori noti nella formula: ${ stile di visualizzazione 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Semplifica l'espressione risultante:
     ${ stile di visualizzazione 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ stile di visualizzazione 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Isolare il coseno:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Trova il coseno inverso. Ecco come calcolare l'angolo sconosciuto:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Pertanto, l'angolo H è 35,7985 °.
3. 3 Trova la lunghezza del percorso. I percorsi fluviali, collinari e paludosi formano un triangolo. La lunghezza del River Trail è di 3 km, la lunghezza del Hilly Trail è di 5 km; queste scie si intersecano tra loro con un angolo di 135°. Il sentiero della palude collega le due estremità degli altri sentieri. Trova la lunghezza del sentiero della palude.
   • I sentieri formano un triangolo. Devi trovare la lunghezza del percorso sconosciuto, che è il lato del triangolo. Poiché sono date le lunghezze degli altri due cammini e l'angolo tra di essi, si può usare il teorema del coseno.
   • Scrivi la formula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Il percorso sconosciuto (Palude) sarà indicato come ${ stile di visualizzazione c}$... Inserisci i valori noti nella formula: ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Calcolare ${ stile di visualizzazione c ^ {2}}$:
     ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) (- 0,7071)}$
     ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - (- 21.2132)}$
     ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ stile di visualizzazione c ^ {2} = 55.2132}$
   • Prendi la radice quadrata di entrambi i membri dell'equazione. Ecco come trovare la lunghezza del percorso sconosciuto:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ stile di visualizzazione c = 7.4306}$
     Quindi, la lunghezza del sentiero della palude è di 7,4306 km.

Consigli

• È più facile usare il teorema del seno. Pertanto, prima scopri se può essere applicato al problema dato.