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• Passi
• Consigli

La funzione razionale ha la forma y = N (x) / D (x), dove N e D sono polinomi. Per tracciare con precisione una tale funzione, è necessaria una buona conoscenza dell'algebra, compresi i calcoli differenziali. Considera il seguente esempio: sì = (2X - 6X + 5)/(4X + 2).

Passi

1. 1 Trova l'intercetta y del grafico. Per fare ciò, sostituisci x = 0 nella funzione e ottieni y = 5/2. Pertanto, il punto di intersezione del grafico con l'asse Y ha coordinate (0, 5/2).Posiziona questo punto sul piano delle coordinate.
2. 2 Trova gli asintoti orizzontali. Dividi il numeratore per il denominatore (in una colonna) per determinare il comportamento di "y" con valori di "x" tendenti all'infinito. Nel nostro esempio, la divisione sarà sì = (1/2)X - (7/4) + 17/(8X + 4). Per grandi valori positivi o negativi di "x" 17 / (8X + 4) tende a zero, e il grafico si avvicina alla retta data dalla funzione sì = (1/2)X - (7/4). Usando la linea tratteggiata, traccia questa funzione.
   • Se il grado del numeratore è minore del grado del denominatore, allora non puoi dividere il numeratore per il denominatore e l'asintoto sarà descritto dalla funzione in = 0.
   • Se il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore, allora l'asintoto è una linea orizzontale uguale al rapporto dei coefficienti in "x" nel grado più alto.
   • Se il grado del numeratore è 1 in più rispetto al grado del denominatore, allora l'asintoto è una linea retta inclinata, la cui pendenza è uguale al rapporto dei coefficienti in "x" con il grado più alto.
   • Se il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore di 2, 3, ecc., Quindi per valori grandi |NS| Significato in tendono all'infinito (positivo o negativo) sotto forma di quadrato, cubo o altro grado di un polinomio. In questo caso, molto probabilmente, non è necessario costruire un grafico esatto della funzione ottenuta dividendo il numeratore per il denominatore.
3. 3 Trova gli zeri della funzione. Una funzione razionale ha zero quando il suo numeratore è zero, cioè N (NS) = 0. Nel nostro esempio, 2X - 6X + 5 = 0. Il discriminante di questa equazione quadratica: B - 4corrente alternata = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Poiché il discriminante è negativo, allora N (NS), e quindi F (NS) non ha radici reali. Il grafico di una funzione razionale non interseca l'asse X. Se la funzione ha zeri (radici), posizionali sul piano delle coordinate.
4. 4 Trova gli asintoti verticali. Per fare ciò, imposta il denominatore a zero. Nel nostro esempio, 4X + 2 = 0 e NS = -1/2. Traccia l'asintoto verticale usando la linea tratteggiata. Se per qualche valore NS N (NS) = 0 e D (NS) = 0, allora l'asintoto verticale o esiste o non esiste (questo è un caso raro, ma è meglio ricordarlo).
5. 5 Guarda il resto del numeratore diviso per il denominatore. È positivo, negativo o zero? Nel nostro esempio, il resto è 17, che è positivo. Denominatore 4X + 2 positivo a destra dell'asintoto verticale e negativo a sinistra di esso. Ciò significa che il grafico della funzione razionale per grandi valori positivi NS si avvicina all'asintoto dall'alto e per grandi valori negativi NS - da sotto. Dal 17 / (8X + 4) non è mai uguale a zero, quindi il grafico di questa funzione non intersecherà mai la retta specificata dalla funzione in = (1/2)NS - (7/4).
6. 6 Trova gli estremi locali. Esiste un estremo locale per N '(X) D (X) - N (X) D '(X) = 0. Nel nostro esempio, N '(X) = 4X - 6 e D '(X) = 4. N '(X) D (X) - N (X) D '(X) = (4X - 6)(4X + 2) - (2X - 6X + 5)*4 = X + X - 4 = 0. Risolvendo questa equazione, trovi che X = 3/2 e X = -5/2. (Questi non sono valori del tutto accurati, ma sono adatti al nostro caso quando non è necessaria la superprecisione.)
7. 7 Trova il valore in per ogni estremo locale. Per fare ciò, sostituire i valori NS nella funzione razionale originaria. Nel nostro esempio, f (3/2) = 1/16 e f (-5/2) = -65/16. Metti da parte i punti (3/2, 1/16) e (-5/2, -65/16) sul piano delle coordinate. Poiché i calcoli si basano su valori approssimativi (dal passaggio precedente), anche il minimo e il massimo trovati non sono del tutto precisi (ma probabilmente molto vicini ai valori esatti). (Il punto (3/2, 1/16) è molto vicino al minimo locale. A partire dal passaggio 3, sappiamo che in sempre positivo per NS> -1/2, e abbiamo trovato un valore piccolo (1/16); quindi, il valore di errore è estremamente piccolo in questo caso.)
8. 8 Collega i punti in sospeso ed estendi dolcemente il grafico agli asintoti (non dimenticare la direzione corretta del grafico che si avvicina agli asintoti). Ricorda che il grafico non deve attraversare l'asse X (vedi passaggio 3). Il grafico inoltre non si interseca con gli asintoti orizzontali e verticali (vedi passaggio 5). Non modificare la direzione del grafico se non nei punti estremi trovati nel passaggio precedente.

Consigli

• Se hai seguito rigorosamente i passaggi precedenti in ordine, non è necessario calcolare le derivate seconde (o quantità complesse simili) per testare la soluzione.
• Se non è necessario calcolare i valori delle quantità, è possibile sostituire la ricerca degli estremi locali calcolando alcune coppie di coordinate aggiuntive (NS, in) tra ogni coppia di asintoti. Inoltre, se non ti interessa come funziona il metodo descritto, non sorprenderti perché non riesci a trovare la derivata e a risolvere l'equazione N '(X) D (X) - N (X) D '(X) = 0.
• In alcuni casi, dovrai lavorare con polinomi di ordine superiore. Se non riesci a trovare la soluzione esatta usando fattorizzazione, formule, ecc., stima le possibili soluzioni usando metodi numerici come il metodo di Newton.
• In rari casi, numeratore e denominatore condividono un fattore variabile comune. Secondo i passaggi descritti, ciò porterà allo zero e ad un asintoto verticale nello stesso punto. Tuttavia, questo non è possibile e la spiegazione è una delle seguenti:
  • Zero in N (NS) ha una molteplicità maggiore di zero in D (NS). Grafico F (NS) tende a zero in questo punto, ma non è definito lì. Indicalo disegnando un cerchio attorno al punto.
  • Zero in N (NS) e zero in D (NS) hanno la stessa molteplicità. Il grafico si avvicina a un punto diverso da zero a questo valore NSma non ivi definito. Indicalo disegnando un cerchio attorno al punto.
  • Zero in N (NS) ha una molteplicità inferiore a zero in D (NS). C'è un asintoto verticale qui.