Autore:
Virginia Floyd
Data Della Creazione:
9 Agosto 2021
Data Di Aggiornamento:
1 Luglio 2024
Contenuto
Il grafico di un'equazione quadratica della forma ax + bx + c o a (x - h) + k è una parabola (curva a forma di U). Per tracciare una tale equazione, devi trovare il vertice della parabola, la sua direzione e i punti di intersezione con gli assi X e Y. Se ti viene data un'equazione quadratica relativamente semplice, puoi sostituire diversi valori di "x " in esso, trova i valori corrispondenti di "y" e costruisci un grafico ...
Passi
1 L'equazione quadratica può essere scritta in una forma standard e in una forma non standard. È possibile utilizzare qualsiasi tipo di equazione per tracciare un'equazione quadratica (il metodo di tracciamento è leggermente diverso). Di norma, nei problemi, le equazioni quadratiche sono fornite in una forma standard, ma questo articolo ti parlerà di entrambi i tipi di scrittura di un'equazione quadratica. - Forma standard: f (x) = ax + bx + c, dove a, b, c sono numeri reali e a 0.
- Ad esempio, due equazioni della forma standard: f (x) = x + 2x + 1 e f (x) = 9x + 10x -8.
- Forma non standard: f (x) = a (x - h) + k, dove a, h, k sono numeri reali e a 0.
- Ad esempio, due equazioni di forma non standard: f (x) = 9 (x - 4) + 18 e -3 (x - 5) + 1.
- Per tracciare un'equazione quadratica di qualsiasi tipo, devi prima trovare il vertice della parabola, che ha coordinate (h, k). Le coordinate del vertice della parabola nelle equazioni della forma standard sono calcolate dalle formule: h = -b / 2a e k = f (h); le coordinate del vertice della parabola in equazioni di forma non standard possono essere ottenute direttamente dalle equazioni.
- Forma standard: f (x) = ax + bx + c, dove a, b, c sono numeri reali e a 0.
2 Per tracciare il grafico, è necessario trovare i valori numerici dei coefficienti a, b, c (o a, h, k). Nella maggior parte dei problemi, le equazioni quadratiche sono fornite con valori numerici dei coefficienti. - Ad esempio, nell'equazione standard f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39.
- Ad esempio, in un'equazione non standard f (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12.
3 Calcola h nell'equazione standard (nel non standard è già dato) usando la formula: h = -b / 2a. - Nel nostro esempio di equazione standard, f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.
- Nel nostro esempio di un'equazione non standard, f (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.
4 Calcola k nell'equazione standard (nel non standard è già dato). Ricorda che k = f (h), ovvero puoi trovare k sostituendo il valore trovato di h invece di "x" nell'equazione originale. - Hai trovato che h = -4 (per l'equazione standard). Per calcolare k, sostituisci questo valore con "x":
- k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
- k = 2 (16) - 64 + 39.
- k = 32 - 64 + 39 = 7
- In un'equazione non standard, k = 12.
- Hai trovato che h = -4 (per l'equazione standard). Per calcolare k, sostituisci questo valore con "x":
5 Disegna un vertice con coordinate (h, k) sul piano delle coordinate. h è tracciato lungo l'asse X e k è tracciato lungo l'asse Y. La parte superiore di una parabola è il punto più basso (se la parabola è rivolta verso l'alto) o il punto più alto (se la parabola è rivolta verso il basso). - Nel nostro esempio di equazione standard, il vertice ha coordinate (-4, 7). Disegna questo punto sul piano delle coordinate.
- Nel nostro esempio di equazione personalizzata, il vertice ha coordinate (5, 12). Disegna questo punto sul piano delle coordinate.
6 Disegna l'asse di simmetria della parabola (opzionale). L'asse di simmetria passa per l'apice della parabola parallelo all'asse Y (cioè rigorosamente verticale). L'asse di simmetria divide la parabola a metà (cioè la parabola è speculare rispetto a questo asse). - Nella nostra equazione standard di esempio, l'asse di simmetria è una retta parallela all'asse Y e passante per il punto (-4, 7). Sebbene questa linea non faccia parte della parabola stessa, dà un'idea della simmetria della parabola.
7 Determina la direzione della parabola - su o giù. Questo è molto facile da fare.Se il coefficiente "a" è positivo, la parabola è diretta verso l'alto e se il coefficiente "a" è negativo, la parabola è diretta verso il basso. - Nel nostro esempio dell'equazione standard, f (x) = 2x + 16x + 39, la parabola è rivolta verso l'alto, poiché a = 2 (coefficiente positivo).
- Nel nostro esempio di un'equazione non standard f (x) = 4 (x - 5) + 12, anche la parabola è diretta verso l'alto, poiché a = 4 (coefficiente positivo).
8 Se necessario, individuare e tracciare l'intercetta x. Questi punti ti aiuteranno molto quando disegni una parabola. Possono essere due, uno o nessuno (se la parabola è diretta verso l'alto e il suo vertice si trova sopra l'asse X, o se la parabola è diretta verso il basso e il suo vertice si trova sotto l'asse X). Per calcolare le coordinate dei punti di intersezione con l'asse X, procedere come segue: - Imposta l'equazione a zero: f (x) = 0 e risolvila. Questo metodo funziona con semplici equazioni quadratiche (soprattutto quelle non standard), ma può essere estremamente difficile per equazioni complesse. Nel nostro esempio:
- f (x) = 4 (x - 12) - 4
- 0 = 4 (x - 12) - 4
- 4 = 4 (x - 12)
- 1 = (x - 12)
- √1 = (x - 12)
- +/- 1 = x -12. I punti di intersezione della parabola con l'asse X hanno coordinate (11,0) e (13,0).
- Fattorizzare l'equazione quadratica in forma standard: ax + bx + c = (dx + e) (fx + g), dove dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = C. Quindi imposta ogni binomio su 0 e trova i valori per "x". Per esempio:
- x + 2x + 1
- = (x + 1) (x + 1)
- In questo caso esiste un unico punto di intersezione della parabola con l'asse x con coordinate (-1,0), perché in x + 1 = 0 x = -1.
- Se non riesci a fattorizzare l'equazione, risolvila usando la formula quadratica: x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a.
- Ad esempio: -5x + 1x + 10.
- x = (-1 +/- (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
- x = (-1 +/- (1 + 200)) / - 10
- x = (-1 +/- √ (201)) / - 10
- x = (-1 +/- 14,18) / - 10
- x = (13,18 / -10) e (-15,18 / -10). I punti di intersezione della parabola con l'asse X hanno coordinate (-1.318,0) e (1.518,0).
- Nel nostro esempio, le equazioni della forma standard 2x + 16x + 39:
- x = (-16 +/- (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
- x = (-16 +/- (256 - 312)) / 4
- x = (-16 +/- (-56) / - 10
- Poiché è impossibile estrarre la radice quadrata di un numero negativo, in questo caso la parabola non interseca l'asse X.
- Imposta l'equazione a zero: f (x) = 0 e risolvila. Questo metodo funziona con semplici equazioni quadratiche (soprattutto quelle non standard), ma può essere estremamente difficile per equazioni complesse. Nel nostro esempio:
9 Individua e traccia l'intercetta y secondo necessità. È molto semplice: inserisci x = 0 nell'equazione originale e trova il valore per "y". L'intercetta Y è sempre la stessa. Nota: nelle equazioni della forma standard, il punto di intersezione ha coordinate (0, s). - Ad esempio, la parabola dell'equazione quadratica 2x + 16x + 39 si interseca con l'asse Y nel punto con coordinate (0, 39), poiché c = 39. Ma questo può essere calcolato:
- f (x) = 2x + 16x + 39
- f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
- f (x) = 39, cioè la parabola di questa equazione quadratica interseca l'asse Y nel punto con coordinate (0, 39).
- Nel nostro esempio di un'equazione non standard 4 (x - 5) + 12, l'intercetta y viene calcolata come segue:
- f (x) = 4 (x - 5) + 12
- f (x) = 4 (0 - 5) + 12
- f (x) = 4 (-5) + 12
- f (x) = 4 (25) + 12
- f (x) = 112, ovvero la parabola di questa equazione quadratica interseca l'asse Y nel punto con coordinate (0, 112).
- Ad esempio, la parabola dell'equazione quadratica 2x + 16x + 39 si interseca con l'asse Y nel punto con coordinate (0, 39), poiché c = 39. Ma questo può essere calcolato:
10 Hai trovato (e tracciato) il vertice della parabola, la sua direzione e i punti di intersezione con gli assi X e Y. Puoi costruire parabole da questi punti o trovare e tracciare punti aggiuntivi e solo allora costruire una parabola. Per fare ciò, inserisci più valori x (su entrambi i lati del vertice) nell'equazione originale per calcolare i valori y corrispondenti. - Torniamo all'equazione x + 2x + 1. Sai già che il punto di intersezione del grafico di questa equazione con l'asse X è il punto con le coordinate (-1,0). Se la parabola ha un solo punto di intersezione con l'asse X, allora questo è il vertice della parabola che giace sull'asse X. In questo caso, un punto non è sufficiente per costruire una parabola regolare. Quindi trova alcuni punti extra.
- Diciamo x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.
- x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Coordinate punto: (0,1).
- x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Coordinate del punto: (1,4).
- x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Coordinate punto: (-2,1).
- x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Coordinate punto: (-3,4).
- Disegna questi punti sul piano delle coordinate e disegna una parabola (collega i punti con una curva a U). Si noti che la parabola è assolutamente simmetrica: qualsiasi punto su un ramo della parabola può essere specchiato (rispetto all'asse di simmetria) sull'altro ramo della parabola. Questo ti farà risparmiare tempo, poiché non è necessario calcolare le coordinate dei punti su entrambi i rami della parabola.
- Torniamo all'equazione x + 2x + 1. Sai già che il punto di intersezione del grafico di questa equazione con l'asse X è il punto con le coordinate (-1,0). Se la parabola ha un solo punto di intersezione con l'asse X, allora questo è il vertice della parabola che giace sull'asse X. In questo caso, un punto non è sufficiente per costruire una parabola regolare. Quindi trova alcuni punti extra.
Consigli
- Arrotonda i numeri frazionari (se questo è un requisito dell'insegnante): è così che costruisci una parabola corretta.
- Se in f (x) = ax + bx + c i coefficienti bo c sono uguali a zero, allora non ci sono termini con questi coefficienti nell'equazione.Ad esempio, 12x + 0x + 6 diventa 12x + 6 perché 0x è 0.
