Contenuto

• Al passo
• Parte 1 di 3: le basi dell'analisi
• Parte 2 di 3: comprendere i derivati
• Parte 3 di 3: comprendere gli integrali
• Suggerimenti

L'analisi (chiamata anche calcolo) è una branca della matematica focalizzata su limiti, funzioni, derivate, integrali e serie infinite. Questo argomento copre una grande quantità di matematica e sta alla base di molte delle formule ed equazioni utilizzate in fisica e meccanica. Probabilmente avrai bisogno di avere avuto diversi anni di matematica al liceo per comprendere correttamente l'analisi, ma questo articolo ti consentirà di iniziare a imparare a riconoscere i concetti chiave e una migliore comprensione della teoria.

Al passo

Parte 1 di 3: le basi dell'analisi

1. L'analisi è lo studio di come cambiano le cose. L'analisi è una branca della matematica che esamina numeri e grafici, solitamente presi da dati del mondo reale, e spiega come cambiano. Anche se questo potrebbe non sembrare molto utile all'inizio, l'analisi è uno dei rami più comunemente usati della matematica. Immagina di avere gli strumenti per dirti quanto velocemente la tua azienda sta crescendo in un dato momento, o come tracciare la rotta di un'astronave e quanto velocemente si esaurisce il suo carburante. L'analisi è uno strumento importante in ingegneria, economia, statistica, chimica e fisica e ha contribuito a molte invenzioni e scoperte.
2. Le funzioni sono relazioni tra due numeri e vengono utilizzate per mappare le relazioni. Sono regole per la relazione tra i numeri e i matematici le usano per creare grafici. In una funzione, ogni input ha esattamente un risultato. Ad esempio: in ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Pensa al concetto di infinito. L'infinito è la ripetizione costante di un processo. Non è un luogo specifico (non puoi andare all'infinito), ma piuttosto il comportamento di un numero o di un'equazione, se fatto per sempre. Questo è importante per studiare il cambiamento: potresti voler sapere a che velocità si muove la tua auto in un dato momento, ma è questa la velocità con cui si muove la tua auto durante il secondo corrente? Millisecondo? Nanosecondi? Puoi trovare porzioni di tempo infinitamente più piccole per essere ancora più precisi, ed è qui che entra in gioco l'analisi.
3. Comprendi il concetto di limite. Un limite ti dice cosa succede quando qualcosa si avvicina all'infinito. Prendi il numero 1 e dividilo per 2. Continua a dividere per 2 ripetutamente. 1 diventa 1/2 e quindi 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ecc. Ogni volta che il numero diventa sempre più piccolo, "più vicino a" zero. Ma dove finisce? Quante volte devi dividere 1 per 2 per ottenere zero? Invece di rispondere a questa domanda, in analisi ne imposti una limite In questo caso, il limite è.
   • I limiti sono i più facili da visualizzare in un grafico: ad esempio, ci sono punti che un grafico quasi tocca, ma mai del tutto?
   • I limiti possono essere numerici, infiniti o addirittura inesistenti. Ad esempio, con la sequenza di addizione 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... e questa continua indefinitamente, il numero finale diventa infinitamente grande. Il limite allora diventa infinito.
4. Rivedi i concetti matematici essenziali di algebra, trigonometria e le basi della matematica. L'analisi si basa su gran parte della matematica che hai imparato in precedenza. Essere ben informati su tutti gli argomenti rende molto più facile l'apprendimento e la comprensione dell'analisi. Alcuni argomenti su cui rispolverare sono:
   • Algebra. È necessario comprendere i diversi processi ed essere in grado di risolvere equazioni e sistemi di equazioni con più variabili. Comprendi le basi delle raccolte. Esercitati a creare grafici.
   • Geometria. La geometria è lo studio delle forme. Dovresti avere una conoscenza di base di triangoli, rettangoli e cerchi e come calcolare cose come perimetro e area. Comprendi angoli, linee e coordinate
   • Trigonometria. La trigonometria è la branca della matematica che si occupa delle proprietà dei cerchi e dei triangoli rettangoli. Impara a usare identità trigonometriche, grafici, funzioni e funzioni trigonometriche inverse.
5. Acquista una calcolatrice grafica. L'analisi non è facile da capire senza vedere cosa stai facendo. Le calcolatrici grafiche rendono visive le funzioni in modo che tu possa capire meglio con quali equazioni hai a che fare. Spesso i limiti vengono visualizzati anche sullo schermo e le derivate e le funzioni vengono calcolate automaticamente.
   • Molti smartphone e tablet oggi offrono app grafiche economiche ma efficaci se non si desidera o non si può acquistare una calcolatrice grafica.

Parte 2 di 3: comprendere i derivati

1. L'analisi viene utilizzata per studiare "il cambiamento in un momento specifico". Sapere perché qualcosa cambia in un momento esatto è il fulcro dell'analisi. Ad esempio, l'analisi ti dà non solo la velocità di un'auto, ma anche di quanto questa velocità cambia in un dato momento. Questo è uno degli usi più semplici dell'analisi, ma molto importante. Immagina quanto siano importanti tali informazioni nel determinare la velocità necessaria per portare un'astronave sulla luna!
   • Determinare il cambiamento in un determinato momento lo ha fatto differenziare. La differenziazione è il primo dei due principali rami dell'analisi.
2. Usa i derivati ​​per capire come cambiano le cose in un dato momento. Un "derivato" è una bella parola per qualcosa che spesso rende gli studenti nervosi. Tuttavia, il concetto in sé non è così difficile da capire: significa semplicemente "quanto velocemente qualcosa cambia". I derivati ​​che incontrerai maggiormente nella vita di tutti i giorni hanno a che fare con la velocità. Tuttavia, di solito non lo chiami "la derivata della velocità", ma semplicemente "accelerazione".
   • L'accelerazione è una derivata: ti dice quanto velocemente qualcosa sta accelerando o rallentando, o come sta cambiando la sua velocità.
3. Sappi che la velocità di cambiamento è uguale alla pendenza tra due punti. Questa è una delle scoperte più importanti dell'analisi. La velocità di variazione tra due punti è uguale alla pendenza della linea tra questi due punti. Basti pensare a una semplice linea, come quella dell'equazione ${ displaystyle y = 3x.}$Sappi che puoi determinare la pendenza delle linee curve. Determinare la pendenza di una linea retta è relativamente facile: quanto cambia ${ displaystyle y}$Se desideri calcolare la variazione in modo più accurato, assicurati che i punti siano più vicini tra loro. Più vicini scegli i due punti, più precisa sarà la tua risposta. Supponi di voler sapere quanto accelera la tua auto quando premi l'acceleratore. Non vuoi misurare il cambio di velocità tra casa tua e il supermercato, ma il cambio di velocità dal momento in cui premi l'acceleratore. Più la lettura si avvicina a quella frazione di secondo, più accurato sarà il calcolo del cambiamento.
   • Ad esempio, gli scienziati stanno studiando la velocità con cui alcune specie si estinguono per salvarle. Tuttavia, più animali muoiono in inverno che in estate, quindi non è utile studiare il tasso di cambiamento durante l'anno: è meglio determinare il tasso di cambiamento in un periodo più breve, ad esempio dal 1 luglio al 1 agosto.
4. Usa linee infinitamente brevi per determinare la "velocità di variazione istantanea" o trova la derivata. È qui che l'analisi diventa spesso un po 'confusa, ma questo è in realtà il risultato di due semplici fatti. Prima di tutto, sai che la pendenza di una linea è uguale alla velocità con cui cambia la linea. Secondo, sai che più i punti della linea sono vicini tra loro, più precisa sarà la lettura. Ma come trovi la velocità di variazione in un dato punto se la pendenza è la relazione tra due punti? La risposta: Scegli due punti che sono infinitamente vicini tra loro.
   • Considera l'esempio in cui continui a dividere 1 per 2, ottenendo così 1/2, 1/4, 1/8, ecc. Quindi alla fine ti avvicini allo zero e la risposta è "quasi zero". I punti sono così vicini tra loro che sono "quasi uguali tra loro". Questa è la natura dei derivati.
5. Impara a determinare vari derivati. Ci sono un sacco di tecniche diverse per trovare una derivata a seconda dell'equazione, ma la maggior parte di esse ha senso se hai memorizzato le basi delle derivate sopra. Tutte le derivate sono un modo per trovare la pendenza di una linea "infinitesimale". Ora che sai di più sulla teoria delle derivate, gran parte del lavoro consiste nel trovare le risposte.
6. Trova le equazioni derivate per prevedere la velocità di variazione in qualsiasi momento. È utile utilizzare derivati ​​per determinare la velocità di variazione in un dato momento, ma il bello dell'analisi è che puoi creare un nuovo modello per qualsiasi funzione. Il derivato di ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Se trovi questo difficile da capire, prova a ricordare esempi reali di derivati. L'esempio più semplice si basa sulla velocità, che comprende molti derivati ​​diversi che incontriamo ogni giorno. Non dimenticare: un derivato è una misura della velocità con cui qualcosa cambia. Pensa a un semplice esperimento. Fai rotolare una biglia su un tavolo e misuri quanto si muove e quanto velocemente ogni volta. Ora immagina che la biglia rotolante segua una linea su un grafico: stai usando derivati ​​per misurare i cambiamenti istantanei in qualsiasi momento su quella linea.
   • Quanto velocemente si muove la biglia? A che velocità cambia la posizione (o derivata) della biglia in movimento? Chiamiamo questa derivata "velocità".
   • Fai rotolare la biglia lungo un pendio e osserva come cambia la velocità. Qual è il tasso di cambiamento, o derivato, della velocità del marmo? Questa derivata è ciò che chiamiamo "accelerazione".
   • Fai rotolare la biglia lungo una pista ondulata, come un ottovolante. In che misura la biglia acquista velocità quando rotola e in che misura la biglia rallenta in salita? A che velocità va esattamente il marmo quando è a metà della prima collina? Questa è la velocità istantanea di cambiamento, o la derivata, di quel marmo in quel punto specifico.

Parte 3 di 3: comprendere gli integrali

1. Sappi che puoi utilizzare l'analisi per trovare aree e volumi complessi. Con l'analisi è possibile misurare forme complesse altrimenti difficili da misurare. Considera, ad esempio, il problema che vuoi sapere quanta acqua contiene un lungo lago di forma irregolare: è impossibile misurare ogni litro d'acqua separatamente o usare un righello per misurare la forma del lago. Con l'analisi è possibile studiare come stanno cambiando i bordi del lago e quindi utilizzare queste informazioni per scoprire quanta acqua contiene.
   • Realizzazione di modelli geometrici e studio dei volumi integrare. Il calcolo integrato è il secondo importante ramo dell'analisi.
2. Sappi che l'integrazione è l'area sotto un grafico. L'integrazione viene utilizzata per misurare lo spazio sotto una linea, che consente di determinare l'area di forme strane o irregolari. Prendi l'equazione ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Sappi che devi selezionare un'area da integrare. Non puoi semplicemente integrare un'intera funzione. Per esempio, ${ displaystyle y = x}$Pensa a come calcolare l'area di un rettangolo. Supponi di avere una linea piatta sopra un grafico, come ${ displaystyle y = 4.}$Sappi che nel calcolo integrale vengono sommati molti piccoli rettangoli per trovare l'area di un'area. Quando ingrandisci enormemente una curva, sembra essere una linea retta. Lo vedi ogni giorno - non puoi percepire la curvatura della terra perché sei così vicino alla superficie terrestre. L'integrazione crea un numero infinito di piccoli rettangoli sotto una curva che sono così piccoli da essere fondamentalmente piatti, permettendoti di contarli. Tutti questi rettangoli sommati formano l'area dell'area sotto una curva.
   • Supponi di sommare molti piccoli segmenti sotto il grafico, e questa è la larghezza di ogni segmento quasi è zero.
3. Impara a leggere e scrivere correttamente gli integrali. Gli integrali sono composti da 4 parti. Un tipico integrale ha questo aspetto:
   
   ${ Displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Ulteriori informazioni sulla ricerca di integrali. L'integrazione è disponibile in molte forme e devi imparare molte formule diverse per integrare ciascuna funzione. Tuttavia, seguono tutti i principi sopra delineati: l'integrazione è la somma di un numero infinito di cose.
   • Integrare per sostituzione.
   • Calcola integrali indefiniti.
   • Integra condividendo.
4. Sappi che l'integrazione è il contrario della differenziazione e viceversa. Questa è una regola pratica di analisi così importante che le è stato dato un nome proprio: Teorema principale del calcolo integrale.Poiché l'integrazione e la differenziazione sono così strettamente correlate, una combinazione dei due può essere utilizzata per determinare la velocità di cambiamento, accelerazione, velocità, posizione, movimento, ecc., Indipendentemente dalle informazioni di cui si dispone.
   • Ad esempio, ricorda che la derivata della velocità è l'accelerazione, quindi puoi usare la velocità per trovare l'accelerazione. Ma se conosci solo l'accelerazione di qualcosa (come la caduta di oggetti a causa della gravità), puoi integrarti per riprendere velocità!
5. Sappi che con l'integrazione puoi anche controllare il volume degli oggetti 3D. La rotazione di una forma piatta è un modo per creare solidi 3D. Immagina una moneta che gira sul tavolo: nota come la moneta sembra assumere la forma di una sfera mentre gira. Questo concetto consente di determinare il volume in base a un processo noto come "volume per rotazione".
   • Ciò consente di determinare il volume di qualsiasi solido, purché si disponga di una funzione che lo rappresenta. Ad esempio, è possibile creare una funzione che traccia il fondo di un lago e quindi utilizzarla per determinare il volume del lago o quanta acqua contiene.

Suggerimenti

• La pratica rende perfetti, quindi fai gli esercizi pratici nel tuo libro di testo, anche quelli che il tuo insegnante non ha dato, e controlla le tue risposte per aiutarti a capire meglio i concetti.
• Se non riesci a trovare una soluzione, chiedi al tuo insegnante.