Contenuto

• Al passo
• Metodo 1 di 3: una prima semplice operazione
• Metodo 2 di 3: calcolo del valore atteso per un risultato specifico
• Metodo 3 di 3: comprendere il concetto
• Suggerimenti
• Necessità

Il valore di aspettativa è un termine statistico e un concetto utilizzato per decidere quanto sarà utile o dannosa un'azione. Per calcolare il valore atteso, è necessario acquisire una buona comprensione di ciascun risultato in una particolare situazione e la probabilità associata, o la probabilità che si verifichi un particolare risultato. I passaggi seguenti forniscono alcuni esercizi di esempio per aiutarti a comprendere il concetto di valore di aspettativa.

Al passo

Metodo 1 di 3: una prima semplice operazione

1. Leggi la dichiarazione. Prima di iniziare a pensare a tutti i possibili risultati e probabilità, è importante comprendere il problema. Ad esempio un gioco di dadi che costa € 10 a partita. Un dado esagonale viene lanciato una volta e le tue vincite dipendono dal numero che tiri. Se esce un 6, vinci € 30; un 5 guadagna 20 €; qualsiasi altro numero non produce nulla.
2. Elenca tutti i possibili risultati. Aiuta a elencare tutti i possibili risultati in una data situazione. Nell'esempio sopra, ci sono 6 possibili risultati. Questi sono: (1) tira un 1 e perdi $ 10, (2) tira un 2 e perdi $ 10, (3) tira un 3 e perdi $ 10, (4) tira un 4 e perdi $ 10 , (5) tira un 5 e vinci $ 10, (6) tira un 6 e vinci $ 20.
   • Nota che ogni risultato è di € 10 in meno rispetto a quanto descritto sopra, poiché dovrai prima pagare € 10 a partita, indipendentemente dal risultato.
3. Determina la probabilità di ogni risultato. In questo caso, la probabilità di qualsiasi 6 risultati è la stessa. La probabilità che un numero casuale venga tirato è 1 su 6. Per semplificare la scrittura, scriveremo la frazione (1/6) come decimale utilizzando una calcolatrice: 0,167. Scrivi questa probabilità accanto a ogni risultato, soprattutto se vuoi risolvere un problema con probabilità diverse per ogni risultato.
   • La tua calcolatrice 1/6 potrebbe produrre qualcosa come 0,166667. Arrotondiamo a 0,167 per semplificare il calcolo senza sacrificare la precisione.
   • Se vuoi un risultato molto accurato, non renderlo un decimale, basta inserire 1/6 nella formula e calcolarlo sulla calcolatrice.
4. Registra il valore di ogni risultato. Moltiplica il $ di un risultato per la probabilità che il risultato si verifichi per calcolare quanto denaro quel risultato contribuirà al valore atteso. Ad esempio, il risultato del lancio di un 1 è - $ 10 e la probabilità di ottenere un 1 è 0,167. Il valore di lanciare un 1 è quindi (-10) * (0,167).
   • Non è necessario calcolare questi risultati ora se si dispone di una calcolatrice in grado di eseguire più operazioni contemporaneamente. Otterrai un risultato più accurato se inserisci l'intera equazione.
5. Aggiungi il valore di ogni risultato per ottenere il valore atteso di un evento. Per continuare con l'esempio precedente, il valore atteso del gioco dei dadi è: (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (10 * 0,167) + (20 * 0,167) o - € 1,67. Quindi puoi aspettarti di perdere $ 1,67 ogni volta in questo gioco (a partita).
6. Quali sono le implicazioni del calcolo del valore atteso. Nell'esempio sopra, abbiamo determinato che il profitto (perdita) atteso sarebbe stato di -1,67 € per lancio. Questo è un risultato impossibile per 1 partita; puoi perdere € 10, vincere € 10 o vincere € 20. Ma a lungo termine, il valore atteso è un'utile probabilità media. Se continui a giocare a questo gioco, perderai in media circa $ 1,67 a partita. Un altro modo per pensare al valore atteso è assegnare determinati costi (o benefici) al gioco; dovresti giocare a questo gioco solo se ritieni che ne valga la pena, divertiti abbastanza da spendere $ 1,67 su di esso ogni volta.
   • Più spesso una situazione viene ripetuta, più accuratamente il valore atteso è una rappresentazione del risultato medio effettivo. Ad esempio, forse giochi 5 volte di seguito e perdi ogni volta, con una perdita media di $ 10. Tuttavia, se giochi 1000 volte in più, il risultato medio si avvicinerà sempre di più al valore atteso di - € 1,67 a partita. Questo principio è chiamato "la legge dei grandi numeri".

Metodo 2 di 3: calcolo del valore atteso per un risultato specifico

1. Usa questo metodo per calcolare il numero medio di monete che devi girare prima che si verifichi uno schema particolare. Ad esempio, puoi utilizzare il metodo per scoprire il numero previsto di monete da lanciare finché non hai teste due volte di seguito. Questo problema è un po 'più complicato di un problema standard sui valori di aspettativa, quindi leggi prima la parte precedente di questo articolo se non hai familiarità con il concetto di valore di aspettativa.
2. Supponiamo di cercare un valore x. Stai cercando di determinare quante monete devi lanciare in media per ottenere due teste di fila. Facciamo ora un confronto per trovare la risposta. Chiamiamo la risposta che stiamo cercando x. Facciamo il necessario confronto passo dopo passo. Al momento abbiamo quanto segue:
   • x = ___
3. Pensa a cosa succede se il primo lancio produce una moneta. Questo sarà il caso nella metà dei casi. Se questo è il caso, hai "sprecato" un ribaltamento, mentre la possibilità di rotolare una testa due volte di seguito non è cambiata. Come per il lancio della moneta, ci si aspetta che tu debba lanciare un numero medio di volte prima di ottenere una testa due volte di seguito. In altre parole, ti aspetteresti di tirare un numero x di volte, più quelle che hai già giocato. Sotto forma di equazione:
   • x = (0,5) (x + 1) + ___
   • Riempiremo lo spazio vuoto mentre continuiamo a pensare ad altre situazioni.
   • Puoi usare le frazioni invece dei decimali se è più facile o necessario.
4. Pensa a cosa succede quando butti la testa. C'è una probabilità 0,5 (o 1/2) che lanci una tazza la prima volta. Questo sembra avvicinarsi all'obiettivo di lanciare una testa per due volte di seguito, ma quanto? Il modo più semplice per scoprirlo è pensare alle tue opzioni al secondo tiro:
   • Se il secondo lancio è una moneta, torniamo all'inizio.
   • Se la seconda volta è anche una tazza, allora abbiamo finito!
5. Impara a calcolare la probabilità che due eventi si verifichino entrambi. Ora sappiamo che hai il 50% di possibilità di lanciare una tazza, ma qual è la possibilità che lanci una tazza due volte di seguito? Per calcolare questa probabilità, moltiplica la probabilità di entrambi. In questo caso è 0,5 x 0,5 = 0,25. Naturalmente, questa è anche la possibilità che tu tiri prima testa e poi croce, perché entrambi hanno una probabilità che si verifichi 0,5: 0,5 x 0,5 = 0,25.
6. Aggiungi il risultato per "testa, poi croce" all'equazione. Ora che abbiamo calcolato la probabilità che questo evento si verifichi, possiamo passare all'espansione dell'equazione. C'è una probabilità di 0,25 (o 1/4) che sprecheremo due volte il lancio senza andare avanti. Ma ora abbiamo ancora bisogno di un numero x di lanci in più in media per ottenere il risultato che vogliamo ottenere, più i 2 che abbiamo già lanciato. In forma di equazione, questo diventa (0.25) (x + 2), che ora possiamo aggiungere all'equazione:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + ___
7. Aggiungi il risultato per "intestazione, intestazione" all'equazione. Se giri la testa, testa con i primi due lanci delle monete, il gioco è fatto. Hai ottenuto il risultato esattamente in 2 lanci. Come abbiamo notato in precedenza, c'è una probabilità di 0,25 che ciò accada, quindi l'equazione per questo è (0,25) (2). Il nostro confronto è ora completo:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + (0,25) (2)
   • Se non sei sicuro di aver riflettuto su ogni possibile situazione, c'è un modo semplice per verificare che l'equazione sia completa. Il primo numero in ciascuna parte dell'equazione rappresenta la probabilità che si verifichi un evento. Questo aggiungerà sempre fino a 1. Qui, 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1, quindi sappiamo di aver incluso ogni situazione.
8. Semplifica l'equazione. Rendiamo l'equazione un po 'più semplice moltiplicando. Ricorda, se vedi qualcosa tra parentesi come questo: (0,5) (x + 1), moltiplichi 0,5 per ogni termine che si trova nella seconda serie di parentesi. Questo ti dà quanto segue: 0,5x + (0,5) (1) o 0,5x + 0,5. Facciamolo per ogni termine nell'equazione, quindi combina questi termini in modo che tutto sembri un po 'più semplice:
   • x = 0,5x + (0,5) (1) + 0,25x + (0,25) (2) + (0,25) (2)
   • x = 0,5x + 0,5 + 0,25x + 0,5 + 0,5
   • x = 0,75 x + 1,5
9. Risolvi per x. Come in qualsiasi equazione, dovrai isolare la x su un lato dell'equazione per calcolarla. Ricorda, x significa "il numero medio di monete che devi lanciare per ottenere testa due volte di seguito". Quando abbiamo calcolato x, abbiamo anche trovato la nostra risposta.
   • x = 0,75 x + 1,5
   • x - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x
   • 0,25x = 1,5
   • (0,25x) / (0,25) = (1,5) / (0,25)
   • x = 6
   • In media, dovrai lanciare una moneta 6 volte prima di lanciare teste due volte.

Metodo 3 di 3: comprendere il concetto

1. Qual è effettivamente un valore atteso. Il valore di aspettativa non è necessariamente il risultato più ovvio o logico. A volte un valore di aspettativa può anche essere un valore impossibile in una data situazione. Ad esempio, il valore atteso può essere + € 5 per un gioco con un premio non superiore a € 10. Ciò che il valore di aspettativa indica è quanto valore ha un particolare evento. Se un gioco ha un valore atteso di + € 5, puoi giocarci se ritieni che valga il tempo e il denaro che puoi ottenere per gioco. Se un altro gioco ha un valore atteso di - $ 20, allora lo giochi solo se pensi che ogni gioco valga $ 20.
2. Comprendi il concetto di eventi indipendenti. Nella vita di tutti i giorni, molti di noi pensano di avere un giorno fortunato in cui accadono cose belle e ci aspettiamo che il resto della giornata vada in questo modo.Allo stesso modo, possiamo pensare di averne avuto abbastanza di un incidente e che qualcosa di divertente debba davvero essere fatto ora. Matematicamente, le cose non vanno così. Se lanci una moneta normale, c'è esattamente la stessa possibilità che lanci una testa o una moneta. Non importa quante volte hai già lanciato; la prossima volta che lo lanci funziona ancora allo stesso modo. Il lancio della moneta è "indipendente" dagli altri lanci, non ne viene influenzato.
   • La convinzione di poter essere fortunati o sfortunati quando si lanciano monete (o qualsiasi altro gioco d'azzardo), o Il fatto che tutta la tua sfortuna sia finita e che la fortuna sia dalla tua parte è anche chiamato barare del giocatore (o errore del giocatore). Questo ha a che fare con la tendenza delle persone a prendere decisioni rischiose o stupide quando sentono che la fortuna è dalla loro parte, o se si sentono "serie fortunata" o se sentono che la loro "fortuna sta per cambiare" ".
3. Comprendi la legge dei grandi numeri. Potresti pensare che il valore di aspettativa non sia veramente utile, perché solo raramente ti dice qual è il risultato effettivo di una situazione. Se hai calcolato che il valore atteso di un gioco della roulette è - € 1, e giochi 3 volte, di solito finirai con - € 10, o + € 60, o qualche altro risultato. La "Legge dei Grandi Numeri" aiuta a spiegare perché il valore dell'aspettativa è più utile di quanto potresti pensare: più giochi, più vicino al valore dell'aspettativa sarà il risultato medio. Quando si guarda al gran numero di eventi, ci sono buone probabilità che il risultato finale sia vicino al valore atteso.

Suggerimenti

• Per quelle situazioni in cui sono possibili più risultati, è possibile creare un foglio di calcolo nel computer per calcolare il valore atteso utilizzando i risultati e le loro probabilità.
• I calcoli di € sopra funzionano anche in altre valute.

Necessità

• Matita
• Carta
• Calcolatrice