Fattorizzare le equazioni quadratiche

Video: Scomposizione trinomio tramite le equazioni di secondo grado

Contenuto

Al passo
L'inizio
Metodo 1 di 6: prova ed errore
Metodo 2 di 6: decomposizione
Metodo 3 di 6: Triple Play
Metodo 4 di 6: la differenza tra due quadrati
Metodo 5 di 6: la formula ABC
Metodo 6 di 6: utilizzo di una calcolatrice
Suggerimenti
Avvertenze
Necessità

Un polinomio contiene una variabile (x) a una certa potenza e diversi termini e / o costanti. Per fattorizzare un polinomio, dovrai suddividere l'espressione in espressioni più piccole che vengono moltiplicate insieme. Ciò richiede un certo livello di matematica e può quindi essere difficile da capire se non sei ancora così lontano.

Al passo

L'inizio

L'equazione. Il formato standard per un'equazione quadratica è:

ax + bx + c = 0
Inizia disponendo i termini nella tua equazione dalla potenza più alta a quella più bassa. Ad esempio, prendi:

6 + 6x + 13x = 0
Riordineremo questa espressione in modo che diventi più facile da lavorare, semplicemente spostando i termini:

6x + 13x + 6 = 0
Trova i fattori utilizzando uno dei metodi seguenti. La fattorizzazione del polinomio risulterà in due espressioni più piccole che possono essere moltiplicate insieme per ottenere il polinomio originale:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
In questo esempio, (2x +3) e (3x + 2) sono fattori dall'espressione originale, 6x + 13x + 6.
Controlla il tuo lavoro! Moltiplica i fattori che hai trovato. Combina gli stessi termini e il gioco è fatto. Iniziare con:

(2x + 3) (3x + 2)
Proviamo questo, moltiplicando i termini usando EBBL (primo - esterno - interno - ultimo), che ci dà:

6x + 4x + 9x + 6
Ora aggiungiamo 4x e 9x insieme perché sono termini uguali. Sappiamo che i fattori sono corretti perché recuperiamo l'equazione con cui siamo partiti:

6x + 13x + 6

Metodo 1 di 6: prova ed errore

Se hai un polinomio abbastanza semplice, potresti essere in grado di vedere subito quali sono i fattori. Ad esempio, dopo un po 'di pratica, molti matematici sono in grado di vedere l'espressione 4x + 4x + 1 ha i fattori (2x + 1) e (2x + 1) semplicemente perché l'hanno visto così tante volte. (Ovviamente, questo non sarà così facile con polinomi più complicati.) Prendiamo un'espressione meno standard per questo esempio:

3x + 2x - 8

Annotare i fattori di un termine e il c termine. Usa il formato ax + bx + c = 0, riconoscere il un e c termini e nota quali fattori ci sono. Per 3x + 2x - 8, questo significa:

a = 3 e ha 1 coppia di fattori: 1 * 3
c = -8 e questo ha 4 coppie di fattori: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 e -1 * 8.
Annota due coppie di parentesi con uno spazio vuoto. Qui inserisci le costanti di ogni espressione:

(x) (x)
Riempi lo spazio prima delle x con un numero di possibili fattori di un valore. Per il un termine nel nostro esempio, 3x, c'è solo 1 possibilità:

(3x) (1x)
Riempi i 2 spazi dopo le x con alcuni fattori per le costanti. Supponiamo di scegliere 8 e 1. Inserisci questo:

(3x8)(X1)
Determina quali segni (più o meno) dovrebbero essere tra le variabili x ei numeri. A seconda dei caratteri dell'espressione originale, è possibile scoprire quali dovrebbero essere i caratteri delle costanti. Prendiamo le due costanti dei due fattori h e K menzionare:

Se ax + bx + c allora (x + h) (x + k)
Se ax - bx - c o ax + bx - c allora (x - h) (x + k)
Se ax - bx + c allora (x - h) (x - k)
Nel nostro esempio, 3x + 2x - 8, il segno è: (x - h) (x + k), che ci fornisce i seguenti due fattori:

(3x + 8) e (x - 1)
Metti alla prova la tua scelta con la moltiplicazione primo-esterno-interno-ultimo. Un primo rapido test per vedere se il termine medio è almeno il valore corretto. In caso contrario, probabilmente hai quello sbagliato c fattori scelti. Testiamo la risposta:

(3x + 8) (x - 1)
Per moltiplicazione otteniamo:

3x - 3x + 8x - 8
Semplifica questa espressione aggiungendo i termini simili (-3x) e (8x) e otteniamo:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Ora sappiamo di aver preso i fattori sbagliati:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Cambia le tue scelte, se necessario. Nel nostro esempio, proviamo 2 e 4, invece di 1 e 8:

(3x + 2) (x - 4)
Ora il nostro c termine uguale a -8, ma il prodotto esterno / interno di (3x * -4) e (2 * x) è -12x e 2x, che non è corretto b termine o + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Invertire l'ordine se necessario. Proviamo a capovolgere 2 e 4:

(3x + 4) (x - 2)
Ora il nostro c termine (4 * 2 = 8) e va ancora bene, ma i prodotti esterno / interno sono -6x e 4x. Quando li combiniamo otteniamo:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Ora ci stiamo avvicinando abbastanza a 2x dove vogliamo essere, ma il segno non è ancora corretto.
Se necessario, ricontrolla i tuoi personaggi. Manteniamo questo ordine, ma lo scambiamo con il segno meno:

(3x - 4) (x + 2)
Ora il c termine ancora ok, e i prodotti esterno / interno sono ora (6x) e (-4x). Perché:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Vediamo ora il 2x positivo rispetto al problema originale. Questi devono essere i fattori giusti.

Metodo 2 di 6: decomposizione

Questo metodo fornisce tutti i possibili fattori di esso un e c termini e li utilizza per scoprire quali fattori sono corretti. Se i numeri sono molto grandi o le supposizioni di altri metodi impiegheranno troppo tempo, usa questo metodo. Un esempio:

6x + 13x + 6

Moltiplica il file un termine con il c termine. In questo esempio, un è 6 e c è anche 6.

6 * 6 = 36
Trovare la b termine per fattorizzazione e test. Stiamo cercando 2 numeri che siano fattori di un * c , e insieme il file b termine (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Sostituisci i due numeri che ottieni nella tua equazione con la somma di b termine. Facciamo K e h per rappresentare i 2 numeri che abbiamo, 4 e 9:

ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Fattorizza il polinomio raggruppando. Organizza l'equazione in modo da poter separare il massimo comune divisore dei primi due termini e degli ultimi due termini. Entrambi i fattori dovrebbero essere gli stessi. Somma i GGD insieme e mettili tra parentesi, accanto ai fattori; di conseguenza ottieni i due fattori:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Metodo 3 di 6: Triple Play

Simile al metodo di decomposizione. Il metodo "triple play" esamina i possibili fattori del prodotto di un e c e usalo per scoprire cosa b deve essere. Prendi l'equazione come esempio:

8x + 10x + 2

Moltiplica il file un termine con il c termine. Come con il metodo di decomposizione, lo usiamo per determinare i candidati per b termine. In questo esempio: un è 8 e c è 2.

8 * 2 = 16
Trova i 2 numeri con questo numero come prodotto e con una somma uguale a b termine. Questo passaggio è lo stesso del metodo di decomposizione: testiamo i candidati per le costanti. Il prodotto di un e c termini è 16 e il c termine è 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Prendi questi 2 numeri e sostituiscili nella formula "triple play". Prendi i 2 numeri del passaggio precedente: prendiamoli h e K chiamali - e mettili nell'espressione:

((ascia + h) (ascia + k)) / a

Con questo otteniamo:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Scopri quale dei due termini nel denominatore può essere completamente diviso per un. In questo esempio, stiamo esaminando se (8x + 8) o (8x + 2) può essere diviso per 8. (8x + 8) è divisibile per 8, quindi dividiamo questo termine per un e lasciamo l'altro inalterato.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Il termine che abbiamo mantenuto qui è quello che rimane dopo aver diviso per un termine: (x + 1)
Prendi il massimo comune divisore (mcd) da uno o entrambi i termini, se possibile. In questo esempio vediamo che il secondo termine ha mcd di 2, perché 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combina questa risposta con il termine che hai scoperto nel passaggio precedente. Questi sono i fattori del tuo confronto.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metodo 4 di 6: la differenza tra due quadrati

Puoi riconoscere alcuni coefficienti in un polinomio come "quadrati", o anche come prodotto di 2 numeri identici. Capendo quali sono i quadrati, potresti essere in grado di fattorizzare i polinomi molto più velocemente. Prendiamo l'equazione:

27x - 12 = 0

Rimuovere il display LCD dall'equazione, se possibile. In questo caso vediamo che 27 e 12 sono entrambi divisibili per 3, quindi possiamo metterli separatamente:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Determina se i coefficienti della tua equazione sono quadrati. Per utilizzare questo metodo è necessario determinare la radice dei termini. (Nota che abbiamo omesso i segni meno - poiché questi numeri sono quadrati, potrebbero essere il prodotto di 2 numeri negativi)

9x = 3x * 3x e 4 = 2 * 2
Usando la radice quadrata che hai determinato, ora puoi scrivere i fattori. Prendiamo il file un e c valori dal passaggio precedente: un = 9 e c = 4, quindi le radici di questo sono: - √un = 3 e √c = 2. Questi sono i coefficienti delle espressioni fattorizzate:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metodo 5 di 6: la formula ABC

Se nulla sembra funzionare e non riesci a risolvere l'equazione, usa la formula abc. Prendiamo il seguente esempio:

x + 4x + 1 = 0

Immettere i valori corrispondenti nella formula abc:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Ora otteniamo l'espressione:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Risolvi per x. Ora dovresti ottenere 2 valori per x. Questi sono:

x = -2 + √ (3) oppure x = -2 - √ (3)
Usa i valori di x per determinare i fattori. Immettere i valori x ottenuti nelle due equazioni come costanti. Questi sono i tuoi fattori. Se rispondiamo alle due h e K annotiamo i due fattori come segue:

(x - h) (x - k)
In questo caso, la risposta finale è:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Metodo 6 di 6: utilizzo di una calcolatrice

Se è consentito (o obbligatorio) utilizzare una calcolatrice grafica, ciò rende la fattorizzazione molto più semplice, soprattutto per esami ed esami. Le seguenti istruzioni sono per una calcolatrice grafica TI. Usiamo l'equazione dell'esempio:

y = x - x - 2

Inserisci l'equazione nella calcolatrice. Utilizzerai il risolutore di equazioni, noto anche come schermata [Y =].
Disegna l'equazione con la calcolatrice. Una volta inserita l'equazione, premi [GRAPH] - ora dovresti vedere una linea curva, una parabola come rappresentazione grafica della tua equazione (ed è una parabola perché abbiamo a che fare con un polinomio).
Trova il punto in cui la parabola si interseca con l'asse x. Poiché un'equazione quadratica è tradizionalmente scritta come ax + bx + c = 0, questi sono i due valori x che rendono l'equazione uguale a zero:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Se non riesci a vedere il punto in cui la parabola si interseca con l'asse x, premi [2nd] e poi [TRACE]. Premere [2] o selezionare "zero". Spostare il cursore a sinistra di un incrocio e premere [ENTER]. Spostare il cursore a destra di un incrocio e premere [ENTER]. Spostare il cursore il più vicino possibile al punto di intersezione e premere [ENTER]. La calcolatrice indicherà il valore x. Fallo anche per l'altra intersezione.
Immettere i valori x ottenuti nelle due espressioni fattorizzate. Se prendiamo i due valori x h e K come termine, l'espressione che usiamo è simile a questa:

(x - h) (x - k) = 0
Quindi i nostri due fattori diventano quindi:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Suggerimenti

Se hai scomposto il polinomio con la formula abc e la tua risposta contiene radici, puoi convertire i valori x in frazioni per controllarli.
Se un termine non ha coefficiente prima di esso, allora il coefficiente è uguale a 1, ad esempio x = 1x.
Se hai una calcolatrice TI-84, esiste un programma chiamato SOLVER che può risolvere un'equazione quadratica per te. Risolve anche polinomi di grado superiore.
Dopo molta pratica, sarai finalmente in grado di risolvere i polinomi a memoria. Ma per essere sicuri è meglio scriverli sempre.
Se un termine non esiste, il coefficiente è zero. Quindi può essere utile riscrivere l'equazione. Per esempio. x + 6 = x + 0x + 6.

Avvertenze

Se stai imparando questo concetto durante una lezione di matematica, presta attenzione a ciò che sta spiegando l'insegnante e non usare solo il tuo metodo preferito. È possibile che ti venga chiesto di utilizzare un metodo specifico per un test, oppure le calcolatrici grafiche potrebbero non essere consentite.