Contenuto

• Passi
• Metodo 1 di 4: Monomio al denominatore
• Metodo 2 di 4: Binomiale al denominatore
• Metodo 3 di 4: Espressione inversa
• Metodo 4 di 4: denominatore radice cubica

In matematica, non è consuetudine lasciare una radice o un numero irrazionale al denominatore di una frazione. Se il denominatore è una radice, moltiplica la frazione per un termine o un'espressione per eliminare la radice. I calcolatori moderni ti consentono di lavorare con le radici nel denominatore, ma il programma educativo richiede che gli studenti siano in grado di eliminare l'irrazionalità nel denominatore.

Passi

Metodo 1 di 4: Monomio al denominatore

1. 1 Impara la frazione. La frazione è scritta correttamente se non c'è radice nel denominatore. Se il denominatore ha un quadrato o qualsiasi altra radice, devi moltiplicare numeratore e denominatore per un monomio per eliminare la radice. Si prega di notare che il numeratore può contenere una radice - questo è normale.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}$
   • Il denominatore qui ha una radice ${ displaystyle { sqrt {7}}}$.
2. 2 Moltiplica numeratore e denominatore per la radice del denominatore. Se il denominatore contiene un monomio, è abbastanza facile razionalizzare tale frazione. Moltiplica numeratore e denominatore per lo stesso monomio (ovvero, stai moltiplicando la frazione per 1).
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}$
   • Se stai inserendo un'espressione per una soluzione su una calcolatrice, assicurati di mettere le parentesi attorno a ciascuna parte per separarle.
3. 3 Semplifica la frazione (se possibile). Nel nostro esempio, può essere abbreviato dividendo numeratore e denominatore per 7.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}} = { frac {7 { sqrt {21}}} {14}} = { frac { sqrt {21}} {2}}}$

Metodo 2 di 4: Binomiale al denominatore

1. 1 Impara la frazione. Se il suo denominatore contiene la somma o la differenza di due monomi, uno dei quali contiene una radice, è impossibile moltiplicare la frazione per un tale binomio per eliminare l'irrazionalità.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}}}$
   • Per capirlo, scrivi la frazione ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$dove il monomio ${ stile di visualizzazione a}$ o ${ stile di visualizzazione b}$ contiene la radice. In questo caso: ${ stile di visualizzazione (a + b) (a + b) = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$... Quindi il monomio ${ stile di visualizzazione 2ab}$ includerà ancora la radice (se ${ stile di visualizzazione a}$ o ${ stile di visualizzazione b}$ contiene la radice).
   • Diamo un'occhiata al nostro esempio.
     • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {2}}} {2 + { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 + { sqrt {2}})} {4 + 4 { sqrt {2}} + 2}}}$
   • Vedi che non puoi liberarti del monomio al denominatore ${ displaystyle 4 { sqrt {2}}}$.
2. 2 Moltiplica numeratore e denominatore per il binomio coniugato del binomio al denominatore. Un binomio coniugato è un binomio con lo stesso monomio, ma con il segno opposto tra di loro. Ad esempio, binom ${ displaystyle 2 + { sqrt {2}}}$ coniugato a un binomio ${ displaystyle 2 - { sqrt {2}}.}$
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}}$
   • Comprendi il significato di questo metodo. Considera di nuovo la frazione ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$... Moltiplica numeratore e denominatore per il binomio coniugato al binomio al denominatore: ${ stile di visualizzazione (a + b) (a-b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$... Quindi, non ci sono monomi che contengono radici. Poiché i monomi ${ stile di visualizzazione a}$ e ${ stile di visualizzazione b}$ sono al quadrato, le radici saranno eliminate.
3. 3 Semplifica la frazione (se possibile). Se c'è un fattore comune sia al numeratore che al denominatore, cancellalo. Nel nostro caso, 4 - 2 = 2, che può essere utilizzato per ridurre la frazione.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 - { sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 { sqrt {2}}}$

Metodo 3 di 4: Espressione inversa

1. 1 Esamina il problema. Se hai bisogno di trovare un'espressione che è l'inversa di quella data, che contiene una radice, dovrai razionalizzare la frazione risultante (e solo allora semplificarla). In questo caso, utilizzare il metodo descritto nella prima o nella seconda sezione (a seconda dell'attività).
   • ${ displaystyle 2 - { sqrt {3}}}$
2. 2 Scrivi l'espressione opposta. Per fare ciò, dividi 1 per l'espressione data; se viene data una frazione, scambiare numeratore e denominatore. Ricorda che ogni espressione è una frazione con 1 al denominatore.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}}}$
3. 3 Moltiplica numeratore e denominatore per qualche espressione per eliminare la radice. Moltiplicando numeratore e denominatore per la stessa espressione, stai moltiplicando la frazione per 1, ovvero il valore della frazione non cambia. Nel nostro esempio, ci viene dato un binomio, quindi moltiplica il numeratore e il denominatore per il binomio coniugato.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}}$
4. 4 Semplifica la frazione (se possibile). Nel nostro esempio, 4 - 3 = 1, quindi l'espressione al denominatore della frazione può essere annullata completamente.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}} = { frac {2 + { sqrt {3}}} {4-3}} = 2 + { sqrt {3}}}$
   • La risposta è un binomio coniugato a questo binomio. È solo una coincidenza.

Metodo 4 di 4: denominatore radice cubica

1. 1 Impara la frazione. Il problema può contenere radici cubiche, sebbene ciò sia piuttosto raro. Il metodo descritto è applicabile a radici di qualsiasi grado.
   • ${ displaystyle { frac {3} { sqrt [{3}] {3}}}}$
2. 2 Riscrivi la radice come potenza. Qui non puoi moltiplicare numeratore e denominatore per un monomio o un'espressione, perché la razionalizzazione viene eseguita in modo leggermente diverso.
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}}}$
3. 3 Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per una potenza in modo che l'esponente nel denominatore diventi 1. Nel nostro esempio, moltiplichiamo la frazione per ${ displaystyle { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$... Ricorda che quando i gradi vengono moltiplicati, i loro indicatori si sommano: ${ displaystyle a ^ {b} a ^ {c} = a ^ {b + c}.}$
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$
   • Questo metodo è applicabile a qualsiasi radice di grado n. Se viene data una frazione ${ displaystyle { frac {1} {a ^ {1 / n}}}}$, moltiplicare numeratore e denominatore per ${ displaystyle a ^ {1 - { frac {1} {n}}}}$... L'esponente al denominatore diventa quindi 1.
4. 4 Semplifica la frazione (se possibile).
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}} = 3 ^ {2/3 }}$
   • Se necessario, scrivi la radice nella risposta. Nel nostro esempio, scomponi l'esponente in due fattori: ${ stile di visualizzazione 1/3}$ e ${ stile di visualizzazione 2}$.
     • ${ displaystyle 3 ^ {2/3} = (3 ^ {2}) ^ {1/3} = { sqrt [{3}] {9}}}$