Calcola manualmente le radici dei cubi - Consigli

Video: Il segreto delle radici quadrate... A MANO!

Contenuto

Al passo
Parte 1 di 3: elaborazione di un incarico di esempio
Parte 2 di 3: trovare la radice del cubo mediante stime ripetute
Suggerimenti
Avvertenze
Necessità

Utilizzando una calcolatrice, calcolare la radice cubica di qualsiasi numero non è altro che premere alcuni tasti. Ma forse non hai una calcolatrice o vuoi impressionare i tuoi amici con la tua capacità di elaborare a mano libera una radice cubica. C'è un metodo che a prima vista sembra un po 'difficile, ma funziona in modo molto semplice con un po' di pratica. È utile avere una conoscenza pronta nel campo delle abilità aritmetiche e del calcolo dei numeri cubici.

Al passo

Parte 1 di 3: elaborazione di un incarico di esempio

Disegna il problema. Risolvere la radice cubica di un numero sembrerà risolvere una lunga divisione, con alcune differenze qua e là. Il primo passo è scrivere correttamente l'affermazione.
- Annotare il numero di cui si desidera determinare la radice cubica. Scrivi i numeri in gruppi di tre, con la virgola come punto di partenza. In questo esempio, determinerai la radice cubica di 10. Scrivilo come 10.000000. Gli zeri sono necessari per l'accuratezza della risposta.
- Disegna una radice quadrata cubica sul numero. Questo ha lo stesso scopo della linea nella divisione lunga. L'unica differenza è la forma del simbolo.
- Metti una virgola sopra la riga, direttamente sopra la virgola nel numero originale.
Conosci i cubi delle unità. Li utilizzerai nei tuoi calcoli. Riguarda i seguenti terzi poteri:
- 13=1∗1∗1=1{ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}Determina la prima cifra della tua risposta. Seleziona un numero che, al cubo, dia il massimo risultato possibile inferiore al primo gruppo di tre numeri.
  - In questo esempio, la prima serie di tre numeri moltiplicati insieme è uguale a 10. Trova il cubo più grande che è minore di 10. Ovvero 8 e la sua radice cubica è 2.
  - Scrivi il numero 2 sopra la radice quadrata, sopra il numero 10. Annota il valore di 23{ displaystyle 2 ^ {3}}Effettua la configurazione per la cifra successiva. Scrivi il prossimo gruppo di tre numeri nel resto e traccia una breve linea verticale a sinistra del numero risultante. Questo sarà il numero che useremo per determinare la cifra successiva nella soluzione della tua radice cubica. In questo esempio, questo diventa 2000, che viene creato dal resto 2 della somma di sottrazione precedente, con il gruppo di tre zeri che hai preso.
    - A sinistra della linea verticale, scrivi la soluzione del divisore successivo, come somma di tre numeri separati. Indicare gli spazi vuoti per questi numeri, sottolineando tre punti vuoti con segni più sotto.
  - Trova l'inizio del prossimo divisore. Per la prima parte del divisore, scrivi trecento volte il quadrato di qualunque cosa si trovi sopra il segno della radice quadrata. In questo caso è 2; 2 ^ 2 è 4 e 4 * 300 = 1200. Quindi scrivi il tuo 1200 nel primo spazio vuoto. Il divisore per questo passaggio della soluzione diventa 1200, più qualcos'altro che calcolerai tra un momento.
  - Trova il numero successivo nella radice del cubo. Trova la cifra successiva della tua soluzione selezionando ciò che puoi moltiplicare per il divisore (1200 e qualcos'altro), quindi sottrailo dal resto di 2000. Questo può essere solo 1, perché 2 per 1200 è uguale a 2400, che è maggiore di 2000. Scrivi il numero 1 nello spazio successivo sopra il segno della radice quadrata.
  - Trova il resto del divisore. Il divisore in questo passaggio della soluzione è costituito da tre parti. La prima parte è il 1200 che hai già. Ora dovrai aggiungere altri due termini per completare il divisore.
    - Ora calcola 3 volte 10 volte ciascuna delle due cifre nella tua soluzione sopra il segno della radice quadrata. Per questo semplice esercizio, ciò significa 3 * 10 * 2 * 1, che è uguale a 60. Aggiungilo ai 1200 che hai già e ottieni 1260.
    - Infine, aggiungi il quadrato dell'ultima cifra. In questo esempio è 1; e 1 ^ 2 è ancora 1. Quindi il divisore totale è 1200 + 60 + 1 o 1261. Scrivilo a sinistra della linea verticale.
  - Moltiplica e sottrai. Arrotonda questa parte della soluzione moltiplicando l'ultima cifra della tua soluzione, in questo caso il numero 1, per il divisore appena calcolato (1261). 1 * 1261 = 1261. Scrivilo sotto 2000 e sottrai 1261 per ottenere 739.
  - Decidi di andare oltre per ottenere una risposta più precisa. Dopo aver completato la sottrazione di ogni passaggio, dovresti controllare se la tua risposta è abbastanza esatta. Per la radice cubica di 10, dopo la prima somma meno, la radice cubica era solo 2, il che non è esattamente esatto. Ora, dopo il secondo round, la soluzione è 2.1.
    - Puoi controllare la precisione di questo risultato usando il cubo: 2.1 * 2.1 * 2.1. Il risultato è 9.261.
    - Se pensi che il risultato sia abbastanza esatto, puoi fermarti. Se vuoi una risposta più precisa, devi passare attraverso un altro round.
  - Determina il divisore per il prossimo round. In questo caso, per più pratica e una risposta più precisa, ripeti i passaggi per un altro round, come segue:
    - Abbassa il prossimo gruppo di tre numeri. In questo caso, questi sono tre zeri, che vengono dopo il resto 739 per formare 739.000.
    - Inizia il divisore con 300 volte il quadrato del numero attualmente sopra il segno della radice quadrata. Questo è 300∗212{ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}Moltiplica il divisore per il risultato. Dopo aver calcolato il divisore in questo round successivo e aver ampliato la soluzione con un'altra cifra, procedi come segue:
      - Moltiplica il divisore per l'ultima cifra della tua soluzione. 135.475 * 5 = 677.375.
      - Sottrarre. 739.000-677.375 = 61.625.
      - Considera se la soluzione 2.15 è abbastanza esatta. Calcola il cubo e otterrai ${ displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$ Scrivi la tua risposta finale. Il risultato sopra la radice quadrata è la radice cubica, con una precisione di tre cifre significative. In questo esempio, la radice cubica di 10 è uguale a 2,15. Controlla questo calcolando 2,15 ^ 3 = 9,94 che può essere arrotondato a 10. Se hai bisogno di una risposta più accurata, continua a farlo finché non sei soddisfatto.

Parte 2 di 3: trovare la radice del cubo mediante stime ripetute

Usa numeri cubici per impostare i limiti superiore e inferiore. Quando ti viene richiesta la radice cubica di un dato numero, inizia scegliendo un cubo il più vicino possibile ad esso, senza essere maggiore del numero di destinazione.
- Ad esempio, se vuoi trovare la radice del cubo di 600, ricordalo (o usa un cubo cubo) 83=512{ displaystyle 8 ^ {3} = 512}Stima la cifra successiva. Elimini la prima cifra attraverso la tua conoscenza di determinati numeri cubici. Per la cifra successiva, stima un numero compreso tra 0 e 9 in base al punto in cui il numero di destinazione rientra tra i due numeri limite.
  - Nel problema di esempio, 600 (il numero di destinazione) cade circa a metà tra i numeri limite 512 e 729. Quindi scegli 5 come numero successivo.
- Metti alla prova la tua stima determinandone il cubo. Prova a moltiplicare la stima su cui stai lavorando per scoprire quanto sei vicino al numero di destinazione.
  - In questo esempio, stai moltiplicando 8,5∗8,5∗8,5=614,1.{ displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614,1.}Modifica la stima secondo necessità. Dopo aver alzato al cubo della tua ultima ipotesi, controlla il risultato rispetto al tuo numero target. Se il risultato è maggiore dell'obiettivo, la stima dovrebbe essere inferiore. Se il risultato è inferiore all'obiettivo, devi regolarlo verso l'alto fino a raggiungere l'obiettivo.
    - Ad esempio, in questa dichiarazione 8,53{ displaystyle 8.5 ^ {3}}Stima la cifra successiva per una risposta più accurata. Continua questa procedura di stima dei numeri da 0 a 9 finché la tua risposta non è precisa come desideri. Prima di ogni round di stima, inizi controllando la posizione del tuo ultimo calcolo tra i numeri di confine.
      - In questo esercizio di esempio, l'ultimo ciclo di calcoli lo mostra ${ displaystyle 8,4 ^ {3} = 592,7}$ Continua a stimare e aggiustare. Fallo tutte le volte che è necessario, aumenta la tua ipotesi a potenza cubica e guarda come si confronta con il numero target. Cerca i numeri che sono appena sotto o appena sopra il numero di destinazione.
        Per questo esercizio di esempio, inizierai notandolo ${ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$ Continua fino a raggiungere la precisione desiderata. Continua a stimare, confrontare e rivalutare per tutto il tempo necessario fino a quando la tua soluzione non sarà precisa come desideri. Nota che con ogni decimale, i tuoi numeri target si avvicinano sempre di più al numero effettivo.
        Per l'esempio della radice cubica di 600, assumendo due numeri decimali, sei a meno di 1 dal numero di destinazione di 8,43. Se continui con tre cifre decimali, lo vedrai ${ displaystyle 8.434 ^ {3} = 599,93}$ Rivedi il binomio di Newton. Per capire perché questo algoritmo funziona per determinare le radici del cubo, devi prima ripensare a come appare il cubo come binomiale. Probabilmente l'hai imparato in matematica al liceo (e come la maggior parte delle persone, probabilmente te ne sei dimenticato rapidamente). Seleziona due variabili ${ displaystyle A}$ Scrivi il binomio in forma cubica. Ora stiamo lavorando all'indietro determinando prima il cubo e poi esaminando il motivo per cui la soluzione della radice del cubo funziona. Abbiamo bisogno dei valori di ${ displaystyle (10A + B) ^ {3}}$ Conosci il significato della divisione lunga. Nota che il metodo della radice del cubo funziona proprio come la divisione lunga. Nella divisione lunga vedi che due fattori moltiplicati insieme danno il numero con cui hai iniziato. In questo calcolo, il numero che stai cercando (il numero che alla fine appare sopra la radice quadrata) è la radice del cubo. Ciò significa che è uguale al termine (10A + B). Gli effettivi A e B sono ora irrilevanti, a condizione che tu capisca la relazione con la risposta.
        Visualizza la versione estesa. Quando guardi il binomio di Newton, puoi vedere perché l'algoritmo della radice cubica è corretto. Guarda come il divisore in ogni fase dell'algoritmo è uguale alla somma dei quattro termini che devi calcolare e aggiungere. Questi termini sorgono come segue:
        Il primo termine contiene un multiplo di 1000. Per prima cosa scegli un numero che potrebbe essere elevato al cubo e rimanere comunque all'interno dell'intervallo della divisione lunga come primo numero. Questo dà il termine 1000A ^ 3 nel binomio.
        Il secondo termine del binomio di Newton ha 300 come coefficiente. (Questo viene da ${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ Guarda crescere la precisione. Quando si elabora una divisione lunga, ogni passaggio che si completa fornisce una grande precisione alla risposta. Ad esempio, il problema di esempio lavorato in questo articolo è per determinare la radice del cubo di 10. Nel primo passaggio, la soluzione è 2, perché ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ si avvicina, ma è inferiore a 10. In effetti, regge ${ displaystyle 2 ^ {3} = 8}$ . Dopo il secondo round, la tua soluzione è 2.1. Dopo averlo risolto, otterrai ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9.261}$ , che è molto più vicino al risultato desiderato (10). Dopo il terzo round, hai 2.15, che ti dà ${ displaystyle 2,15 ^ {3} = 9,94}$ . Continua a lavorare in gruppi di tre numeri e otterrai la risposta precisa che desideri.