Contenuto

• Al passo
• Metodo 1 di 3: utilizzo del metodo di sostituzione
• Metodo 2 di 3: utilizzo del metodo di eliminazione
• Metodo 3 di 3: tracciare un grafico delle equazioni
• Suggerimenti
• Avvertenze

In un "sistema di equazioni" ti viene chiesto di risolvere due o più equazioni contemporaneamente. Quando questi due contengono variabili diverse, come xey, o aeb, può essere difficile a prima vista vedere come risolverli. Fortunatamente, una volta che sai cosa fare, hai solo bisogno di alcune abilità matematiche di base (e talvolta di una conoscenza parziale) per risolvere il problema. Se necessario, o se sei uno studente di arti visive, impara anche a rappresentare graficamente le equazioni. Rappresentare graficamente (tracciare) un grafico può essere utile per "vedere cosa sta succedendo" o per controllare il tuo lavoro, ma può anche essere più lento degli altri metodi e non funziona con tutti i sistemi di equazioni.

Al passo

Metodo 1 di 3: utilizzo del metodo di sostituzione

1. Spostare le variabili su diversi lati dell'equazione. Questo metodo di "sostituzione" inizia con la "risoluzione per x" (o qualsiasi altra variabile) in una delle equazioni. Ad esempio, abbiamo le seguenti equazioni: 4x + 2y = 8 e 5x + 3x = 9. Prima di tutto, guardiamo al primo confronto. Riorganizza sottraendo 2y da ciascun lato e ottieni: 4x = 8-2 anni.
   • Questo metodo utilizza spesso le frazioni in una fase successiva. Puoi anche utilizzare il metodo di eliminazione riportato di seguito se preferisci non lavorare con le frazioni.
2. Dividi entrambi i lati dell'equazione per risolvere per "x". Una volta che hai il termine x (o qualsiasi variabile che usi) su un lato dell'equazione, dividi entrambi i lati dell'equazione per isolare la variabile. Per esempio:
   • 4x = 8-2 anni
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - ½y
3. Ricollegalo all'altra equazione. Assicurati di tornare al file Altri confronto, non quello che hai già usato. In quell'equazione, sostituisci la variabile che hai risolto, lasciando solo una variabile. Per esempio:
   • Ora sai che: x = 2 - ½y.
   • La seconda equazione, che non hai ancora modificato, è: 5x + 3x = 9.
   • Nella seconda equazione, sostituisci x con "2 - ½y": 5 (2 - ½ anno) + 3 anni = 9.
4. Risolvi per la variabile rimanente. Ora hai un'equazione con una sola variabile. Usa tecniche di algebra comuni per risolvere quella variabile. Se le variabili si annullano a vicenda, vai all'ultimo passaggio. Altrimenti, ti ritroverai con una risposta a una delle tue variabili:
   • 5 (2 - ½ anno) + 3 anni = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Se non capisci questo passaggio, impara come aggiungere le frazioni. Questo è spesso, ma non sempre, necessario con questo metodo).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Usa la risposta per risolvere per l'altra variabile. Non commettere l'errore di finire il problema a metà. Dovrai reinserire la risposta che hai ottenuto in una delle equazioni originali in modo da poter risolvere per l'altra variabile:
   • Ora sai che: y = -2
   • Una delle equazioni originali è: 4x + 2y = 8. (Entrambe le equazioni possono essere utilizzate per questo passaggio).
   • Collega -2 invece di y: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Sapere cosa fare se entrambe le variabili si annullano a vicenda. Quando tu x = 3y + 2 o ottieni una risposta simile nell'altra equazione, stai cercando di ottenere un'equazione con una sola variabile. A volte invece ti ritrovi con un'equazione senza variabili. Ricontrolla il tuo lavoro e assicurati di sostituire la prima equazione (riorganizzata) nella seconda equazione e non la prima equazione. Se sei sicuro di non aver commesso errori, otterrai uno dei seguenti risultati:
   • Se ti ritrovi con un'equazione senza variabili e che non è vera (ad esempio 3 = 5), allora hai il problema nessuna soluzione. (Se hai rappresentato graficamente le equazioni, vedrai che sono parallele e non si intersecano mai).
   • Se ti ritrovi con un'equazione senza variabili, ma quelle bene è vero (ad esempio, 3 = 3), allora ha il problema un numero infinito di soluzioni. Le due equazioni sono esattamente uguali. (Se metti in grafico le due equazioni, vedrai che si sovrappongono esattamente).

Metodo 2 di 3: utilizzo del metodo di eliminazione

1. Determina la variabile da eliminare. A volte le equazioni si "eliminano" a vicenda in una variabile non appena vengono sommate. Ad esempio, quando fai le equazioni 3x + 2y = 11 e 5x - 2y = 13 combina, "+ 2y" e "-2y" si annullano a vicenda, con tutte le "ys vengono eliminate dall'equazione. Guarda le equazioni nel tuo problema per scoprire se una qualsiasi delle variabili verrà eliminata in questo modo. Se nessuna delle variabili viene eliminata, leggere il passaggio successivo per ottenere consigli.
2. Moltiplica un'equazione per annullare una variabile. (Salta questo passaggio se le variabili si sono già eliminate a vicenda). Se nessuna delle variabili nelle equazioni si cancella da sola, allora devi cambiare una delle equazioni in modo che lo faccia. Questo è più facile da capire con un esempio:
   • Supponi di avere il sistema di equazioni 3x - y = 3 e -x + 2y = 4.
   • Cambiamo la prima equazione in modo che la variabile sia y viene eliminato. (Puoi farlo anche per X fare e ottenere la stessa risposta).
   • Il - y " della prima equazione dovrebbe essere eliminata con il + 2 anni Nella seconda equazione. Possiamo farlo entro - y moltiplicare per 2.
   • Moltiplichiamo entrambi i lati della prima equazione per 2, come segue: 2 (3x - y) = 2 (3), e quindi 6x - 2y = 6. Adesso lo farà - 2 anni cadere contro il + 2 anni nella seconda equazione.
3. Combina le due equazioni. Per poter combinare due equazioni, aggiungi insieme i lati sinistro e destro. Se hai scritto correttamente l'equazione, una delle variabili dovrebbe annullarsi rispetto all'altra. Ecco un esempio che utilizza le stesse equazioni dell'ultimo passaggio:
   • Le tue equazioni sono: 6x - 2y = 6 e -x + 2y = 4.
   • Combina i lati sinistro: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Combina i lati giusti: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Risolvi per l'ultima variabile. Semplifica l'equazione combinata e poi usa l'algebra di base per risolvere l'ultima variabile. Se non sono rimaste variabili dopo la semplificazione, continuare con l'ultimo passaggio di questa sezione. Altrimenti, dovresti terminare con una semplice risposta a una delle tue variabili. Per esempio:
   • Avete: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Raggruppa le variabili X e y insieme: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Semplificare: 5x = 10
   • Risolvi per x: (5x) / 5 = 10/5, così che x = 2.
5. Risolvi per le altre variabili. Hai trovato una variabile, ma non hai ancora finito. Sostituisci la tua risposta in una delle equazioni originali in modo da poter risolvere per l'altra variabile. Per esempio:
   • Lo sai x = 2e quella delle tue equazioni originali 3x - y = 3 è.
   • Collega 2 in, invece di x: 3 (2) - y = 3.
   • Risolvi y nell'equazione: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, così 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. Sappi cosa fare quando entrambe le variabili si annullano a vicenda. A volte combinando due equazioni si ottiene un'equazione che non ha significato o non aiuta a risolvere il problema. Ricontrolla il tuo lavoro dall'inizio, ma se non hai commesso un errore, scrivi una delle seguenti risposte:
   • Se l'equazione combinata non ha variabili e non è vera (come 2 = 7), allora c'è nessuna soluzione che vale per entrambe le equazioni. (Se metti in grafico entrambe le equazioni, vedrai che sono parallele e non si intersecano mai).
   • Se l'equazione combinata non ha variabili ed è vera (come 0 = 0), allora ci sono un numero infinito di soluzioni. Le due equazioni sono effettivamente identiche. (Se li metti in un grafico, vedrai che si sovrappongono completamente l'uno all'altro).

Metodo 3 di 3: tracciare un grafico delle equazioni

1. Utilizzare questo metodo solo quando specificato. A meno che non si utilizzi un computer o una calcolatrice grafica, molti sistemi di equazioni possono essere risolti solo approssimativamente utilizzando questo metodo. Il tuo insegnante o il tuo libro di matematica potrebbe chiederti di usare questo metodo, quindi probabilmente hai familiarità con le equazioni grafiche come le linee. Puoi anche utilizzare questo metodo per verificare se le tue risposte da uno qualsiasi degli altri metodi sono corrette.
   • L'idea di base è rappresentare graficamente entrambe le equazioni e determinare il punto in cui si intersecano. I valori xey a questo punto danno il valore di xe il valore di y nel sistema di equazioni.
2. Risolvi entrambe le equazioni per y. Tieni separate le due equazioni e utilizza l'algebra per convertire ciascuna equazione nella forma "y = __x + __". Per esempio:
   • La prima equazione è: 2x + y = 5. Cambia questo in: y = -2x + 5.
   • La seconda equazione è: -3x + 6y = 0. Cambia questo in 6y = 3x + 0e semplifica in y = ½x + 0.
   • Entrambe le equazioni sono identiche, quindi l'intera linea diventa un "punto di intersezione". Scrivi: infinite soluzioni.
3. Disegna un sistema di coordinate. Disegna un "asse y" verticale e un "asse x" orizzontale su un foglio di carta millimetrata. Inizia nel punto in cui le linee si intersecano e dai un'etichetta ai numeri 1, 2, 3, 4, ecc. Sull'asse ye di nuovo a destra lungo l'asse x. Etichetta i numeri -1, -2, ecc. Lungo l'asse y in basso ea sinistra lungo l'asse x.
   • Se non hai carta millimetrata, usa un righello per assicurarti che i numeri siano equidistanti.
   • Se utilizzi numeri o posizioni decimali di grandi dimensioni, potrebbe essere necessario ridimensionare il grafico. (Ad esempio 10, 20, 30 o 0,1, 0,2, 0,3 invece di 1, 2, 3).
4. Disegna l'intersezione y per ogni linea. Una volta che hai un'equazione nel modulo y = __x + __ puoi iniziare a rappresentarlo graficamente impostando un punto in cui la linea intercetta l'asse y. Questo è sempre a un valore y, uguale all'ultimo numero in questa equazione.
   • Negli esempi menzionati in precedenza, una riga (y = -2x + 5) nell'asse y 5. L'altra linea (y = ½x + 0) passa per il punto zero 0. (Questi sono i punti (0,5) e (0,0) nel grafico).
   • Indicare ciascuna delle linee con un colore diverso, se possibile.
5. Usa la pendenza per continuare a disegnare le linee. Nella forma y = __x + __, è il numero per x esimo pendenza fuori linea. Ogni volta che x viene aumentato di uno, il valore y aumenterà con il valore della pendenza. Usa queste informazioni per trovare il punto sul grafico per ciascuna linea quando x = 1. (In alternativa, sostituisci x = 1 per ogni equazione e risolvi per y).
   • Nel nostro esempio, la linea ha y = -2x + 5 una pendenza di -2. In x = 1 la linea 2 scende giù dal punto x = 0. Disegna il segmento di linea tra (0.5) e (1.3).
   • La regola y = ½x + 0ha una pendenza di ½. In x = 1, la linea va ½ su dal punto x = 0. Disegna il segmento di linea compreso tra (0,0) e (1, ½).
   • Quando le linee hanno la stessa pendenza le linee non si intersecheranno mai, quindi non esiste una soluzione per il sistema di equazioni. Scrivi: nessuna soluzione.
6. Continua a tracciare le linee finché non si intersecano. Fermati e guarda il tuo grafico. Se le linee si sono già incrociate, vai al passaggio successivo. Altrimenti, prendi una decisione in base a ciò che fanno le linee:
   • Mentre le linee si muovono l'una verso l'altra, continui a disegnare punti in quella direzione.
   • Se le linee si allontanano l'una dall'altra, torna indietro e disegna i punti nell'altra direzione, iniziando da x = -1.
   • Se le linee non sono vicine l'una all'altra, salta avanti e traccia i punti più lontani, ad esempio x = 10.
7. Trova la risposta all'intersezione delle linee. Una volta che le due linee si intersecano, i valori xey in quel punto sono la soluzione al problema. Se sei fortunato, la risposta sarà un numero intero. Ad esempio, nei nostri esempi, le due linee si intersecano (2,1) così è la tua risposta x = 2 e y = 1. In alcuni sistemi di equazioni, le linee si intersecano a un valore compreso tra due numeri interi e, a meno che il grafico non sia estremamente accurato, sarà difficile dire dove si trova. In questo caso, puoi dare una risposta del tipo: "x è compreso tra 1 e 2". Puoi anche utilizzare il metodo di sostituzione o il metodo di eliminazione per trovare la risposta esatta.

Suggerimenti

• Puoi controllare il tuo lavoro inserendo le risposte nelle equazioni originali. Se le equazioni sono vere (ad esempio, 3 = 3), la tua risposta è corretta.
• Nel metodo di eliminazione, a volte devi moltiplicare un'equazione per un numero negativo per eliminare una variabile.

Avvertenze

• Questi metodi non possono essere utilizzati se hai a che fare con un numero di potenza, come x. Per saperne di più sulle equazioni di questo tipo, avrai bisogno di una guida alla quadratura dei fattori con due variabili.