Contenuto

• Passi
• Consigli
• avvertimento

Due frazioni sono chiamate equivalenti se hanno lo stesso valore. Sapere come convertire una frazione nelle sue forme equivalenti è un'abilità matematica essenziale per tutto, dall'algebra di base alla matematica avanzata. Questo articolo introdurrà diversi modi per calcolare le frazioni equivalenti dalla moltiplicazione e divisione di base a metodi più complessi per la risoluzione di equazioni con frazioni equivalenti.

Passi

Metodo 1 di 5: creare frazioni equivalenti

1. 

   Moltiplica il numeratore e il denominatore per lo stesso numero. Per definizione, due frazioni diverse ma equivalenti hanno il numeratore e il denominatore sono multipli l'uno dell'altro. In altre parole, moltiplicando il numeratore e il denominatore di una frazione per lo stesso numero si ottiene una frazione equivalente. Sebbene i numeri sulle nuove frazioni saranno diversi, avranno gli stessi valori.
   • Ad esempio, se prendiamo la frazione 4/8 e moltiplichiamo il numeratore e il campione per 2, otteniamo (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Queste due frazioni sono equivalenti.
   • (4 × 2) / (8 × 2) è esattamente uguale a 4/8 × 2/2. Ricorda che quando moltiplichiamo due frazioni, moltiplichiamo orizzontalmente, cioè il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore.
   • Nota che 2/2 è uguale a 1 quando fai la divisione. Quindi, è facile capire perché 4/8 e 8/16 sono uguali perché 4/8 × (2/2) è ancora = 4/8. Allo stesso modo 4/8 = 8/16.
   • Ogni frazione ha un numero infinito di frazioni equivalenti. Puoi moltiplicare il numeratore e il denominatore per qualsiasi numero intero, grande o piccolo, per ottenere una frazione equivalente.

2. 

   
   
   Dividi il numeratore e il denominatore per lo stesso numero. Come la moltiplicazione, anche la divisione viene utilizzata per trovare una nuova frazione equivalente alla frazione originale. Basta dividere il numeratore e il denominatore di una frazione per lo stesso numero per ottenere una frazione equivalente. Tuttavia, la frazione ottenuta deve avere sia il numeratore che il campione essere numeri interi.
   • Ad esempio, guarda indietro alla frazione 4/8. Invece di moltiplicare, dividiamo sia il numeratore che il denominatore per 2, abbiamo (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 e 4 sono entrambi numeri interi, quindi questa frazione equivalente è valida.
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Metodo 2 di 5: utilizzo della moltiplicazione di base per determinare l'equivalenza

1. 

   
   
   Trova il numero in cui il denominatore maggiore viene moltiplicato per il denominatore minore. Molti problemi relativi alle frazioni implicano la determinazione se due frazioni sono uguali o meno. Calcolando questo numero, è possibile restituire le frazioni allo stesso termine per determinare l'equivalenza.
   • Ad esempio, recupera le frazioni 4/8 e 8/16. Il denominatore più piccolo è 8 e dovremo moltiplicare quel numero per 2 per ottenere il denominatore più grande di 16. Quindi, il numero da cercare in questo caso è 2.
   • Per numeri più complessi, devi solo dividere il denominatore grande per il denominatore piccolo. Nell'esempio precedente 16 diviso per 8, il risultato è 2.
   • Questo numero non è sempre un numero intero. Ad esempio, se i denominatori sono 2 e 7, 7 diviso 2 equivale a 3,5.

2. 

   
   
   Il numeratore e il denominatore della frazione sono espressi con il termine inferiore con il numero identificato nel passaggio precedente. Per definizione esistono due frazioni differenti ma equivalenti Il numeratore e il denominatore sono multipli l'uno dell'altro. In altre parole, moltiplicando il numeratore e il denominatore di una frazione per lo stesso numero si ottiene una frazione equivalente. Sebbene i numeri in questa nuova frazione saranno diversi, i loro valori sono gli stessi.
   • Ad esempio, se prendiamo la frazione 4/8 dal passaggio uno e moltiplichiamo sia il numeratore che il campione per il numero 2 specificato in precedenza, abbiamo (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Ciò dimostra che queste due frazioni sono equivalenti.
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Metodo 3 di 5: utilizzo della divisione di base per determinare l'equivalenza

1. 

   Dividi ogni frazione in un decimale. Per le frazioni semplici senza variabili, è sufficiente rappresentare ogni frazione come un decimale per determinare l'equivalenza. Poiché ogni frazione è essenzialmente una divisione, questo è il modo più semplice per determinare l'equivalenza.
   • Ad esempio, prendi la frazione 4/8 sopra. La frazione 4/8 è uguale a 4 divisa per 8, 4/8 = 0,5. Puoi dividere quella frazione in questo modo, 8/16 = 0,5. Indipendentemente dal formato delle frazioni, sono equivalenti se i due numeri sono uguali quando espressi in decimali.
   • Ricorda che la rappresentazione decimale può produrre molte cifre prima di concludere che non sono equivalenti. Un esempio di base è 1/3 = 0,333… mentre 3/10 = 0,3. Solo più di una cifra, troviamo che queste due frazioni non sono equivalenti.

2. 

   Dividi il numeratore e il denominatore di una frazione per lo stesso numero per ottenere una frazione equivalente. Per frazioni più complesse, questo metodo di divisione richiede passaggi aggiuntivi. Come la moltiplicazione, puoi dividere il numeratore e il denominatore di una frazione per lo stesso numero per ottenere una frazione equivalente. Tuttavia, la frazione ottenuta deve avere sia il numeratore che il campione essere interi.
   • Esempio di frazione 4/8. Invece di moltiplicare, lo siamo Condividere Sia il numeratore che il denominatore danno 2, otteniamo (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 e 4 sono entrambi numeri interi, quindi questa frazione equivalente è valida.

3. 

   
   
   Riduci la frazione alla sua forma minima. La maggior parte delle frazioni sono solitamente espresse in una forma minima e puoi riportarle alla loro forma minima dividendole per il più grande fattore comune del numeratore e del campione. Questo passaggio funziona nella stessa logica di rappresentare frazioni equivalenti convertendole nello stesso denominatore, ma questo metodo richiede di ridurre ogni frazione alla sua forma minima.
   • Quando una frazione è nella sua forma minima, il numeratore e il suo denominatore sono i più piccoli possibile. Non è possibile dividerli per un numero intero per ottenere un numero inferiore. Per convertire una frazione nella sua forma minima, dividiamo il numeratore e il denominatore per il più grande fattore comune.
   • Il più grande fattore comune del numeratore e del denominatore è il numero massimo per cui sono divisibili. Quindi, nell'esempio 4/8, perché 4 è il numero più grande per cui sia 4 che 8 sono divisibili, divideremo il numeratore e il denominatore di questa frazione per 4 per ottenere la forma semplificata. (4 ÷ 4) / (8 ÷ 4) = 1/2. In un altro esempio 8/16, GCF è 8, anche il risultato è 1/2.
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Metodo 4 di 5: utilizzo della moltiplicazione incrociata per risolvere il problema delle variabili

1. 

   
   
   Metti due frazioni uguali. Usiamo la moltiplicazione incrociata per problemi in cui sappiamo che le frazioni sono equivalenti, ma uno dei numeri è stato sostituito dalla variabile (solitamente x) che dobbiamo risolvere per trovare il problema. In casi come questi, la moltiplicazione incrociata è un metodo rapido.

2. 

   
   
   Prendi due frazioni equivalenti e incrociale usando una "X". In altre parole, moltiplichi il numeratore di una frazione per il denominatore dell'altra e viceversa, quindi metti questi due risultati uguali e risolvi il problema.
   • Prendiamo due esempi, 4/8 e 8/16. Queste due frazioni non contengono variabili, ma possiamo dimostrare che sono equivalenti. Con la moltiplicazione incrociata, otteniamo 4 x 16 = 8 x 8 o 64 = 64, che è ovviamente corretto. Se i due numeri non sono uguali, le frazioni non sono equivalenti.

3. 

   Inserisci le variabili. Poiché la moltiplicazione incrociata è il modo più semplice per determinare le frazioni equivalenti quando devi risolvere il problema della ricerca di variabili, aggiungi le variabili.
   • Ad esempio, considera la seguente equazione 2 / x = 10/13. Per moltiplicare in modo incrociato, moltiplichiamo 2 per 13 e 10 per x, quindi mettiamo questi due risultati uguali:
     • 2 × 13 = 26
     • 10 × x = 10x
     • 10x = 26. Con semplici metodi algebrici possiamo trovare la variabile x = 26/10 = 2.6, allora le prime due frazioni equivalenti sono 2 / 2,6 = 10/13.

4. 

   Utilizzare la moltiplicazione incrociata per equazioni con più variabili o espressioni di variabili. Una delle cose più interessanti della moltiplicazione incrociata è che se hai due frazioni semplici (come sopra) o frazioni più complesse, la soluzione è esattamente la stessa. Ad esempio, se entrambe le frazioni contengono variabili, è sufficiente rimuoverle nell'ultimo passaggio del processo di risoluzione dei problemi. Allo stesso modo, se i numeratori e i denominatori delle frazioni contengono espressioni variabili (come x + 1), moltiplicare semplicemente e risolvere come faresti normalmente.
   • Ad esempio, considera la seguente equazione ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4). Come sopra, risolviamo moltiplicando due frazioni incrociate:
     • (x + 3) × 4 = 4x + 12
     • (x + 1) × 2 = 2x + 2
     • 2x + 2 = 4x + 12, sottrai i lati per 2x
     • 2 = 2x + 12, per separare la variabile sottraiamo i lati a 12
     • -10 = 2x e dividi i lati per 2 per trovare x
     • -5 = x
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Metodo 5 di 5: utilizzo della soluzione quadratica per risolvere equazioni variabili

1. 

   Incrocia moltiplicare due frazioni. Per i problemi di equivalenza che richiedono l'uso di soluzioni quadratiche, iniziamo ancora utilizzando la moltiplicazione incrociata. Tuttavia, qualsiasi moltiplicazione incrociata implica la moltiplicazione del termine contenente una variabile per il termine contenente un'altra variabile ha il potenziale per produrre un'espressione che non può essere facilmente risolta con il metodo algebrico. In casi come questi, sarà necessario utilizzare tecniche come la fattorizzazione e / o le formule quadratiche.
   • Ad esempio, considera la seguente equazione ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). Passaggio 1, incrociamo la moltiplicazione:
     • (x + 1) × (2x - 2) = 2x + 2x -2x - 2 = 2x - 2
     • 4 × 3 = 12
     • 2x - 2 = 12.

2. 

   Esprimi l'equazione come un'equazione quadratica. Dobbiamo ora rappresentare l'equazione in forma quadratica (ax + bx + c = 0), dove impostiamo l'equazione a 0. In questo caso, sottraiamo entrambi i lati per 12 per ottenere 2x. - 14 = 0.
   • Alcuni valori potrebbero essere zero. Sebbene 2x - 14 = 0 sia la forma più semplice di equazione, la sua quadratica è in realtà 2x + 0x + (-14) = 0. Aiuta a riflettere Correggere la forma di un'equazione quadratica anche se alcuni valori sono 0.

3. 

   Risolvi un'equazione inserendo i coefficienti noti nella formula della soluzione. La formula quadratica (x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a) ci aiuterà a risolvere il problema di trovare x a questo punto. Non aver paura perché la formula sembra lunga. Prendi semplicemente i valori dall'equazione quadratica nel passaggio due e sostituiscili nelle rispettive posizioni prima di risolvere.
   • x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a. Nell'equazione, 2x - 14 = 0, a = 2, b = 0 e c = -14.
   • x = (-0 +/- √ (0-4 (2) (- 14))) / 2 (2)
   • x = (+/- √ (0 - -112)) / 2 (2)
   • x = (+/- √ (112)) / 2 (2)
   • x = (+/- 10,58 / 4)
   • x = +/- 2.64

4. 

   Controlla le tue risposte ricollegando la x alla tua equazione quadratica. Sostituendo la x trovata nell'equazione quadratica del passaggio due, puoi facilmente determinare se la tua risposta è vera o falsa. In questo esempio, sostituiresti sia 2,64 che -2,64 nell'equazione quadratica originale. annuncio pubblicitario

Consigli

• Convertire le frazioni in frazioni di uguale valore è in realtà la forma di moltiplicarle per 1. Quando si converte 1/2 in 2/4, in realtà moltiplichiamo il numeratore e il denominatore per 2 o moltiplichiamo. 1/2 con 2/2, che è uguale a 1.
• Se lo desideri, converti il ​​numero misto in una frazione irregolare per facilitare la conversione. Ovviamente non tutte le frazioni che incontri sono così facili da convertire come il nostro esempio 4/8 sopra. Ad esempio, numeri misti (ad esempio 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, ecc.) Possono rendere la transizione un po 'più complicata. Se devi convertire un numero misto in una frazione equivalente, puoi farlo in due modi: convertire il numero misto in una frazione irregolare, quindi convertire come al solito, o mantieni il numero misto e considera il numero misto la risposta.
  • Per convertire una frazione irregolare, moltiplica la parte intera del numero misto per il denominatore della frazione e poi aggiungila al numeratore. Ad esempio, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. Quindi, se lo desideri, puoi convertire in frazioni equivalenti secondo necessità. Ad esempio, 5/3 × 2/2 = 10/6, che è ancora uguale a 1 2/3.
  • Tuttavia, non è necessario convertire alla frazione irregolare come sopra. Ignorare la parte intera, convertire solo la parte frazionaria, quindi aggiungere nuovamente la parte intera numerica alla parte frazionaria convertita. Ad esempio, per 3 4/16, guarderemo solo 4/16. 4/16 & divide; 4/4 = 1/4. Aggiungendo di nuovo la parte intera, abbiamo il nuovo numero misto 3 1/4.

avvertimento

• La moltiplicazione e la divisione sono usate per creare frazioni equivalenti perché moltiplicare e dividere per la forma frazionaria del numero 1 (2/2, 3/3, ecc.) Per definizione non ha effetto sui valori frazionari. originale. L'addizione e la sottrazione non lo fanno.
• Sebbene moltiplichi il denominatore e il denominatore quando moltiplichi le frazioni, non puoi aggiungere o sottrarre il denominatore quando aggiungi o sottrai frazioni.
  • Come nell'esempio sopra, vediamo che 4/8 ÷ 4/4 = 1/2. Se invece io più per 4/4, la risposta sarà completamente diversa. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 bene 3/2, nessuna risposta è uguale a 4/8.