Contenuto

• Passi
• Parte 1 di 3: trovare il dominio di una funzione
• Parte 2 di 3: trovare l'intervallo di una funzione quadratica
• Parte 3 di 3: trovare l'intervallo di una funzione usando il suo grafico

Ogni funzione ha due variabili: la variabile indipendente e la variabile dipendente, i cui valori dipendono dai valori della variabile indipendente. Ad esempio, nella funzione sì = F(X) = 2X + sì la variabile indipendente è x e la variabile dipendente è y (in altre parole, y è una funzione di x). I valori validi della variabile indipendente "x" sono chiamati dominio della funzione e i valori validi della variabile dipendente "y" sono chiamati dominio della funzione.

Passi

Parte 1 di 3: trovare il dominio di una funzione

1. 1 Determina il tipo di funzione che ti è stata assegnata. L'intervallo di valori della funzione sono tutti i valori ammissibili di "x" (tracciati lungo l'asse orizzontale), che corrispondono ai valori ammissibili di "y". La funzione può essere quadratica o contenere frazioni o radici. Per trovare il dominio di una funzione, devi prima determinare il tipo della funzione.
   • La funzione quadratica è: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4
   • Una funzione contenente una frazione: f (x) = (/_X), f(x) = /_{(x - 1)} (eccetera).
   • Funzione contenente radice: f (x) = x, f (x) = √ (x + 1), f (x) = √-x (e così via).
2. 2 Selezionare la voce appropriata per l'ambito della funzione. L'ambito è scritto in quadrato e/o tra parentesi. Una parentesi quadra viene utilizzata quando un valore rientra nell'ambito di una funzione; se il valore non è nell'ambito, viene utilizzata una parentesi. Se la funzione ha più domini di definizione non contigui, tra di essi viene posto il simbolo "U".
   • Ad esempio, il dominio [-2,10) U (10,2] include i valori -2 e 2, ma non include il valore 10.
   • Le parentesi sono sempre usate con il simbolo dell'infinito ∞.
3. 3 Traccia una funzione quadratica. Il grafico di tale funzione è una parabola, i cui rami sono diretti verso l'alto o verso il basso. Poiché la parabola aumenta o diminuisce sull'intero asse X, il dominio della funzione quadratica è tutti i numeri reali. In altre parole, il dominio di tale funzione è l'insieme R (R denota tutti i numeri reali).
   • Per una migliore comprensione del concetto di funzione, scegli un qualsiasi valore di "x", sostituiscilo nella funzione e trova il valore "y". La coppia di valori "x" e "y" rappresentano un punto con coordinate (x, y), che giace sul grafico della funzione.
   • Disegna questo punto sul piano delle coordinate e segui il processo descritto con un diverso valore di "x".
   • Tracciando diversi punti sul piano delle coordinate, avrai un'idea generale della forma del grafico della funzione.
4. 4 Se la funzione contiene una frazione, imposta il denominatore a zero. Ricorda che non puoi dividere per zero. Pertanto, eguagliando il denominatore a zero, troverai valori per "x" che non rientrano nell'ambito della funzione.
   • Ad esempio, trova il dominio della funzione f (x) = /_{(x - 1)}.
   • Qui il denominatore è (x - 1).
   • Uguaglia il denominatore a zero e trova "x": x - 1 = 0; x = 1.
   • Annotare l'ambito della funzione. Il dominio non include 1, cioè include tutti i numeri reali tranne 1. Pertanto, il dominio della funzione è: (-∞, 1) U (1, ∞).
   • La notazione (-∞, 1) U (1, ∞) si legge così: l'insieme di tutti i numeri reali tranne 1. Il simbolo dell'infinito ∞ significa tutti i numeri reali. Nel nostro esempio, tutti i numeri reali maggiori di 1 e minori di 1 sono inclusi nell'ambito.
5. 5 Se la funzione contiene una radice quadrata, l'espressione radicale deve essere maggiore o uguale a zero. Ricorda che la radice quadrata dei numeri negativi non viene estratta. Pertanto, qualsiasi valore di "x" in corrispondenza del quale l'espressione radicale diventa negativa deve essere escluso dall'ambito della funzione.
   • Ad esempio, trova il dominio della funzione f (x) = (x + 3).
   • L'espressione radicale: (x + 3).
   • L'espressione radicale deve essere maggiore o uguale a zero: (x + 3) ≥ 0.
   • Trova "x": x ≥ -3.
   • L'ambito di questa funzione include l'insieme di tutti i numeri reali maggiori o uguali a -3. Quindi, il dominio è [-3, ).

Parte 2 di 3: trovare l'intervallo di una funzione quadratica

1. 1 Assicurati di avere una funzione quadratica. La funzione quadratica ha la forma: ax + bx + c: f (x) = 2x + 3x + 4. Il grafico di tale funzione è una parabola i cui rami sono diretti verso l'alto o verso il basso. Esistono vari metodi per trovare l'intervallo di valori di una funzione quadratica.
   • Il modo più semplice per trovare l'intervallo di una funzione radice o frazione è rappresentare graficamente tale funzione utilizzando una calcolatrice grafica.
2. 2 Trova la coordinata x del vertice del grafico della funzione. Nel caso di una funzione quadratica, trova la coordinata x del vertice della parabola. Ricorda che la funzione quadratica è: ax + bx + c. Per calcolare la coordinata x, usa la seguente equazione: x = -b / 2a. Questa equazione è una derivata della funzione quadratica fondamentale e descrive una tangente, la cui pendenza è zero (la tangente al vertice della parabola è parallela all'asse X).
   • Ad esempio, trova l'intervallo della funzione 3x + 6x -2.
   • Calcola la coordinata x del vertice della parabola: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1
3. 3 Trova la coordinata y del vertice del grafico della funzione. Per fare ciò, sostituire la coordinata trovata "x" nella funzione. La coordinata ricercata "y" è il valore limite dell'intervallo di valori della funzione.
   • Calcola la coordinata y: y = 3x + 6x - 2 = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = -5
   • Le coordinate del vertice della parabola di questa funzione sono (-1, -5).
4. 4 Determinare la direzione della parabola sostituendo almeno un valore x nella funzione. Scegli un altro valore x e inseriscilo nella funzione per calcolare il valore y corrispondente. Se il valore trovato "y" è maggiore della coordinata "y" del vertice della parabola, allora la parabola è diretta verso l'alto. Se il valore trovato "y" è inferiore alla coordinata "y" del vertice della parabola, la parabola è diretta verso il basso.
   • Sostituisci x = -2 nella funzione: y = 3x + 6x - 2 = y = 3 (-2) + 6 (-2) - 2 = 12 -12 -2 = -2.
   • Le coordinate del punto sulla parabola sono (-2, -2).
   • Le coordinate trovate indicano che i rami della parabola sono diretti verso l'alto. Pertanto, l'intervallo della funzione include tutti i valori y maggiori o uguali a -5.
   • Intervallo di valori di questa funzione: [-5, ∞)
5. 5 L'intervallo di valori di una funzione è scritto allo stesso modo dell'intervallo di definizione di una funzione. La parentesi quadra viene utilizzata quando il valore è compreso nell'intervallo della funzione; se il valore non è compreso nell'intervallo, viene utilizzata una parentesi. Se la funzione ha più intervalli di valori non contigui, tra di essi viene inserito il simbolo "U".
   • Ad esempio, l'intervallo [-2,10) U (10,2] include i valori -2 e 2, ma non include il valore 10.
   • Le parentesi sono sempre usate con il simbolo dell'infinito ∞.

Parte 3 di 3: trovare l'intervallo di una funzione usando il suo grafico

1. 1 Traccia la funzione. In molti casi, è più facile trovare l'intervallo di valori di una funzione tracciando il suo grafico. L'intervallo di valori di molte funzioni con radici è (-∞, 0] o [0, + ∞), poiché il vertice della parabola diretto a destra o a sinistra giace sull'asse X. In questo caso , l'intervallo include tutti i valori positivi di "y" se la parabola è in aumento, o tutti i valori negativi di y se la parabola è in diminuzione. Le funzioni frazionarie hanno asintoti che definiscono il loro intervallo.
   • I vertici dei grafici di alcune funzioni con radici si trovano sopra o sotto l'asse X. In questo caso, l'intervallo di valori è determinato dalla coordinata "y" del vertice della parabola. Se, ad esempio, la coordinata "y" del vertice di una parabola è -4 (y = -4) e la parabola è in aumento, l'intervallo di valori è [-4, + ∞).
   • Il modo più semplice per rappresentare graficamente una funzione è utilizzare una calcolatrice grafica o un software speciale.
   • Se non disponi di una calcolatrice grafica, crea un grafico approssimativo inserendo più valori x nella funzione e calcolando i corrispondenti valori y. Traccia i punti trovati sul piano delle coordinate per avere un'idea generale della forma del grafico.
2. 2 Trova il minimo della funzione. Quando si traccia una funzione, si vedrà il punto in cui la funzione ha un valore minimo.Se non esiste un minimo ovvio, allora non esiste e il grafico della funzione va a -∞.
   • L'intervallo di valori della funzione include tutti i valori di "y" ad eccezione dei valori degli asintoti. Spesso, gli intervalli di valori di tali funzioni sono scritti come segue: (-∞, 6) U (6, ∞).
3. 3 Determinare il massimo della funzione. Una volta tracciata una funzione, vedrai il punto in cui la funzione ha il suo valore massimo. Se non c'è un massimo ovvio, allora non esiste e il grafico della funzione va a + ∞.
4. 4 L'intervallo di valori di una funzione è scritto allo stesso modo dell'intervallo di definizione di una funzione. La parentesi quadra viene utilizzata quando il valore è compreso nell'intervallo della funzione; se il valore non è compreso nell'intervallo, viene utilizzata una parentesi. Se la funzione ha più intervalli di valori non contigui, tra di essi viene inserito il simbolo "U".
   • Ad esempio, l'intervallo [-2,10) U (10,2] include i valori -2 e 2, ma non include il valore 10.
   • Le parentesi sono sempre usate con il simbolo dell'infinito ∞.