Contenuto

• Al passo
• Metodo 1 di 2: Metodo uno: moltiplicazione incrociata
• Metodo 2 di 2: Metodo Due: Trovare il minimo comune multiplo (MCM) dei denominatori
• Suggerimenti

Una funzione razionale è una frazione con una o più variabili al numeratore o al denominatore. Un'equazione razionale è qualsiasi equazione che contiene almeno un'espressione razionale. Come le comuni equazioni algebriche, le espressioni razionali possono essere risolte applicando la stessa operazione a entrambi i lati dell'equazione fino a quando la variabile è isolata su un lato del segno di uguale. Due metodi speciali, moltiplicazione incrociata e trovare il minimo comune multiplo dei denominatori, sono particolarmente utili per isolare variabili e risolvere equazioni razionali.

Al passo

Metodo 1 di 2: Metodo uno: moltiplicazione incrociata

1. Se necessario, riorganizza l'equazione per assicurarti che ci sia una frazione su entrambi i lati del segno di uguale. La moltiplicazione incrociata è un metodo veloce per risolvere equazioni razionali. Sfortunatamente, questo metodo funziona solo per equazioni razionali che hanno esattamente un'espressione o frazione razionale su entrambi i lati del segno di uguale. Se questo non è il caso della tua equazione, allora probabilmente avrai bisogno di alcune operazioni algebriche per ottenere i termini nel posto giusto.
   • Ad esempio, l'equazione (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 può essere facilmente convertita nella forma di moltiplicazione incrociata corretta, aggiungendo x / (- 2) a entrambi i lati dell'equazione, ottenendo il risultato ha questo aspetto: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • Ricorda che i decimali e gli interi possono essere convertiti in frazioni assegnando loro il denominatore 1. (x + 3) / 4-2,5 = 5, ad esempio, può essere riscritto come (x + 3) / 4 = 7,5 / 1, che consente l'applicazione della moltiplicazione incrociata.
   • Alcune equazioni razionali non possono essere convertite nella forma corretta così facilmente. In questi casi, utilizza i metodi in cui utilizzi il minimo comune multiplo dei denominatori.
2. Moltiplicazione incrociata. Moltiplicazione incrociata significa semplicemente moltiplicare il numeratore di una frazione per il denominatore dell'altra e viceversa. Moltiplica il numeratore della frazione a sinistra del segno di uguale per la frazione a destra. Ripeti con il numeratore a destra e il denominatore della frazione a sinistra.
   • La moltiplicazione incrociata funziona secondo principi algebrici comuni. Le espressioni razionali e altre frazioni possono essere convertite in numeri regolari moltiplicando i denominatori. Fondamentalmente, la moltiplicazione incrociata è un pratico modo abbreviato per moltiplicare entrambi i lati dell'equazione per entrambi i denominatori delle frazioni. Non ci credi? Provalo: vedrai gli stessi risultati dopo la semplificazione.
3. Rendi i due prodotti uguali tra loro. Dopo la moltiplicazione incrociata, ti rimangono due prodotti. Rendi questi due termini uguali e semplificali per ottenere i termini più semplici su entrambi i lati dell'equazione.
   • Ad esempio, se (x + 3) / 4 = x / (- 2) era la tua espressione razionale originale, dopo la moltiplicazione incrociata diventa uguale a -2 (x + 3) = 4x. Questo può opzionalmente essere riscritto come -2x - 6 = 4x.
4. Risolvi per la variabile. Usa le operazioni algebriche per trovare il valore della variabile nell'equazione. Ricorda, se x appare su entrambi i lati del segno di uguale, quindi aggiungendo o sottraendo un termine x, assicurati che ci siano solo x termini su un lato del segno di uguale.
   • Nel nostro esempio, è possibile dividere entrambi i lati dell'equazione per -2, che ci dà x + 3 = -2x. Sottraendo x da entrambi i lati del segno di uguale si ottiene 3 = -3x. Infine, dividendo entrambi i lati per -3 otteniamo -1 = x, o anche x = -1. Ora abbiamo trovato x che risolve la nostra equazione razionale.

Metodo 2 di 2: Metodo Due: Trovare il minimo comune multiplo (MCM) dei denominatori

1. Cerca di capire quando trovare il minimo comune multiplo dei denominatori è ovvio. Il minimo comune multiplo (LCM) dei denominatori può essere utilizzato per semplificare le equazioni razionali, consentendo di trovare i valori delle loro variabili. Trovare un LCM è una buona idea se l'equazione razionale non può essere facilmente riscritta in una forma in cui c'è solo una frazione o espressione razionale su ciascun lato del segno di uguale. Per risolvere equazioni razionali con tre o più termini, gli LCM sono uno strumento utile. Ma per risolvere equazioni razionali con solo due termini, la moltiplicazione incrociata è spesso più veloce.
2. Esamina il denominatore di ciascuna frazione. Trova il numero più piccolo completamente divisibile per qualsiasi denominatore. Questo è l'MCM della tua equazione.
   • A volte il minimo comune multiplo - il numero più piccolo che è completamente divisibile per ciascuno dei denominatori - è immediatamente evidente. Ad esempio, se la tua espressione è simile a x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, è facile vedere che l'MCM deve essere divisibile per 3, 2 e 6 e quindi uguale a 6.
   • Ma più spesso il LCM di un confronto razionale non è affatto chiaro immediatamente. In questi casi, prova i multipli del denominatore più grande fino a trovare un numero che includa i multipli degli altri denominatori più piccoli. Spesso il LCM è un prodotto di due denominatori. Ad esempio, prendi l'equazione x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9, dove l'MCM è uguale a 8 * 9 = 72.
   • Se uno o più denominatori contiene una variabile, questo processo sarà un po 'più difficile, ma non è affatto impossibile. In questi casi, il LCM è un'espressione (con variabili) che si adatta perfettamente a tutti i denominatori, non solo a un singolo numero. Ad esempio, l'equazione 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), dove l'MCM è uguale a 3x (x-1), perché è completamente divisibile per qualsiasi denominatore - divisione per (x- 1 ) restituisce 3x, la divisione per 3x restituisce (x-1) e la divisione per x restituisce 3 (x-1).
3. Moltiplica ogni frazione nell'equazione razionale per 1. Moltiplicare ogni termine per 1 può sembrare inutile, ma qui c'è un trucco. Vale a dire, 1 può essere scritto come una frazione, ad esempio 2/2 e 3/3. Moltiplica per 1 ogni frazione dell'equazione razionale, scrivendo 1 ogni volta come numero o termine moltiplicato per ciascun denominatore per ottenere l'MCM come frazione.
   • Nel nostro esempio, possiamo moltiplicare x / 3 per 2/2 per ottenere 2x / 6 e moltiplicare 1/2 per 3/3 per ottenere 3/6. 3x +1/6 ha già un 6 (mcm) come denominatore, quindi possiamo moltiplicarlo per 1/1 o semplicemente lasciarlo.
   • Nel nostro esempio con le variabili nei denominatori, l'intero processo è un po 'più complicato. Poiché il LCM è uguale a 3x (x-1), moltiplichiamo ogni espressione razionale per una frazione che restituisce 3x (x-1) come denominatore. Moltiplichiamo 5 / (x-1) per (3x) / (3x) e questo dà 5 (3x) / (3x) (x-1), moltiplichiamo 1 / x per 3 (x-1) / 3 (x -1) e questo dà 3 (x-1) / 3x (x-1) e moltiplichiamo 2 / (3x) per (x-1) / (x-1) e questo infine dà 2 (x-1) / 3x (x-1).
4. Semplifica e risolvi per x. Ora che ogni termine nella tua equazione razionale ha lo stesso denominatore, è possibile eliminare i denominatori dall'equazione e risolvere i numeratori. Basta moltiplicare entrambi i lati dell'equazione per il LCM per eliminare i denominatori in modo da rimanere con solo i numeratori. Ora è diventata un'equazione regolare che puoi risolvere per la variabile isolandola su un lato del segno di uguale.
   • Nel nostro esempio, dopo aver moltiplicato, usando 1 come frazione, otteniamo 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. È possibile aggiungere due frazioni se hanno lo stesso denominatore, quindi possiamo scrivere questa equazione come (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 senza modificarne il valore. Moltiplica entrambi i lati per 6 per annullare i denominatori, lasciando 2x + 3 = 3x + 1. Qui, sottrai 1 da entrambi i lati per lasciare 2x + 2 = 3x e sottrai 2x da entrambi i lati per lasciare 2 = x, che può quindi essere scritto anche come x = 2.
   • Nel nostro esempio con le variabili nei denominatori, l'equazione dopo aver moltiplicato ogni termine per "1" è uguale a 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 ( x-1) / 3x (x-1). Moltiplicando ogni termine per il LCM è possibile annullare i denominatori, che ora ci dà 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Elaborato ulteriormente, diventa 15x = 3x - 3 + 2x -2, che può essere semplificato di nuovo come 15x = x - 5. Sottraendo x da entrambi i lati si ottiene 14x = -5, in modo che la risposta finale possa essere semplificata ax = - 5/14.

Suggerimenti

• Una volta trovato il valore della variabile, controlla la tua risposta inserendo questo valore nell'equazione originale. Se ottieni il valore della variabile corretto, dovresti essere in grado di semplificare l'equazione in un teorema semplice e corretto, come 1 = 1.
• Ogni equazione può essere scritta come un'espressione razionale; posizionalo come numeratore sopra il denominatore 1. Quindi l'equazione x + 3 può essere scritta come (x + 3) / 1, entrambi hanno lo stesso valore.