Contenuto

• Passi
• Parte 1 di 2: trovare i fattori primi
• Parte 2 di 2: utilizzo dei fattori primi
• Esempi di compiti
• Consigli
• Avvertenze

Qualsiasi numero naturale può essere scomposto nel prodotto di fattori primi. Se non ti piace avere a che fare con numeri grandi come 5733, impara a scomporre in fattori (in questo caso, 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Un compito simile si incontra spesso nella crittografia, che si occupa di problemi di sicurezza delle informazioni. Se non sei ancora pronto per creare il tuo sistema di posta elettronica sicuro, impara prima a fattorizzare i numeri.

Passi

Parte 1 di 2: trovare i fattori primi

1. 1 Scopri cos'è il factoring. La scomposizione di un numero nel prodotto di fattori è il processo di "suddivisione" in parti più piccole.Quando moltiplicate, queste parti, o fattori, danno il numero originale.
   • Ad esempio, il numero 18 può essere scomposto nei seguenti prodotti: 1 x 18, 2 x 9 o 3 x 6.
2. 2 Ricorda cosa sono i numeri primi. Un numero primo è divisibile solo per due numeri senza resto: per se stesso e per 1. Ad esempio, il numero 5 può essere rappresentato come un prodotto di 5 e 1. Questo numero non può essere scomposto in altri fattori. Lo scopo di scomporre un numero in fattori primi è rappresentarlo come un prodotto di numeri primi. Ciò è particolarmente utile quando si tratta di frazioni, in quanto consente di confrontarle e semplificarle.
3. 3 Inizia con il numero originale. Scegli un numero composto maggiore di 3. Non ha senso prendere un numero primo, poiché è divisibile solo per se stesso e uno.
   • Esempio: scomponiamo il numero 24 nel prodotto dei numeri primi.
4. 4 Dividiamo questo numero nel prodotto di due fattori. Trova due numeri più piccoli il cui prodotto è uguale al numero originale. Si può usare qualsiasi fattore, ma è più facile prendere i numeri primi. Un buon modo è provare a dividere il numero originale prima per 2, poi per 3, poi per 5 e verificare quale di questi numeri primi divide senza resto.
   • Esempio: se non conosci i fattori di 24, prova a dividerlo per piccoli numeri primi. Quindi scoprirai che il numero dato è divisibile per 2: 24 = 2 x 12... Questo è un buon inizio.
   • Poiché 2 è un numero primo, è utile utilizzarlo quando si scompongono in fattori i numeri pari.
5. 5 Inizia a costruire l'albero dei moltiplicatori. Questa semplice procedura ti aiuterà a scomporre un numero. Per cominciare, disegna due "rami" in basso dal numero originale. Alla fine di ogni ramo, scrivi i fattori trovati.
   • Esempio:
   •    24
   •     /
   • 2    12
6. 6 Fattorizzare la riga successiva di numeri. Dai un'occhiata ai due nuovi numeri (seconda riga dell'albero dei moltiplicatori). Sono entrambi numeri primi? Se uno di questi non è semplice, scomponilo anche in due fattori. Crea altri due rami e scrivi due nuovi fattori nella terza riga dell'albero.
   • Esempio: 12 non è un numero primo, quindi dovrebbe essere fattorizzato. Usa la scomposizione 12 = 2 x 6 e scrivilo nella terza riga dell'albero:
   •    24
   •     /
   • 2   12
   •        /
   • 2 x 6
7. 7 Continua giù per l'albero. Se uno dei nuovi fattori risulta essere un numero primo, disegnane un "ramo" e scrivi lo stesso numero alla fine. I numeri primi non possono essere espansi in fattori più piccoli, quindi spostali verso il basso di un livello.
   • Esempio: 2 è primo. Basta spostare 2 dalla seconda alla terza riga:
   •      24
   •       /
   •    2   12
   •   /       /
   • 2     2   6
8. 8 Continua a scomporre i numeri finché non ti rimangono solo i numeri primi. Controlla ogni nuova linea dell'albero. Se almeno uno dei nuovi fattori non è un numero primo, fattorizzalo e scrivi una nuova riga. Alla fine, ti rimarranno solo i numeri primi.
   • Esempio: 6 non è un numero primo, quindi dovrebbe essere anche fattorizzato. Allo stesso tempo, 2 è un numero primo e portiamo i due due al livello successivo:
   •         24
   •          /
   •       2    12
   •      /       /
   •    2     2    6
   •   /      /      /
   • 2     2      2   3
9. 9 Scrivi l'ultima riga come prodotto di fattori primi. Alla fine, ti rimarranno solo i numeri primi. Quando ciò accade, la scomposizione in fattori primi è completa. L'ultima riga è un insieme di numeri primi, il cui prodotto dà il numero originale.
   • Controlla la tua risposta: moltiplica i numeri sull'ultima riga. Il risultato dovrebbe essere il numero originale.
   • Esempio: l'ultima riga dell'albero dei fattori contiene i numeri 2 e 3. Entrambi questi numeri sono primi, quindi la scomposizione è completa. Pertanto, la scomposizione in fattori primi di 24 ha la seguente forma: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
   • L'ordine dei fattori non ha importanza. La decomposizione può anche essere scritta come 2 x 3 x 2 x 2.
10. 10 Semplifica la tua risposta utilizzando la notazione esponenziale, se lo desideri. Se hai familiarità con l'elevamento a potenza dei numeri, puoi scrivere la risposta in una forma più semplice.Ricorda che la base è scritta in basso e il numero in apice indica quante volte questa base deve essere moltiplicata per se stessa.
    • Esempio: quante volte ricorre il numero 2 nella scomposizione trovata 2 x 2 x 2 x 3? Tre volte, quindi l'espressione 2 x 2 x 2 può essere scritta come 2. In notazione semplificata, otteniamo 2x3.

Parte 2 di 2: utilizzo dei fattori primi

1. 1 Trova il massimo comun divisore di due numeri. Il massimo comun divisore (MCD) di due numeri è il numero massimo per il quale entrambi i numeri sono divisibili senza resto. L'esempio seguente mostra come utilizzare la scomposizione in fattori primi per trovare il massimo comun divisore di 30 e 36.
   • Scomponiamo entrambi i numeri in fattori primi. Per 30, la fattorizzazione è 2 x 3 x 5. Il numero 36 è scomposto in fattori primi come segue: 2 x 2 x 3 x 3.
   • Troviamo il numero che si verifica in entrambe le espansioni. Cancelliamo questo numero in entrambi gli elenchi e scriviamolo su una nuova riga. Ad esempio, 2 si verifica in due espansioni, quindi scriviamo 2 su una nuova linea. Dopodiché, abbiamo 30 = 2 x 3 x 5 e 36 = 2 x2x3x3.
   • Ripetere questo passaggio fino a quando non rimangono più fattori comuni nelle espansioni. Entrambi gli elenchi includono anche il numero 3, quindi su una nuova riga puoi scrivere 2 e 3... Quindi confrontare nuovamente le espansioni: 30 = 2 x 3 x 5 e 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Come puoi vedere, non ci sono fattori comuni in loro.
   • Per trovare il più grande fattore comune, trova il prodotto di tutti i fattori comuni. Nel nostro esempio, questi sono 2 e 3, quindi il mcd è 2 x 3 = 6... Questo è il numero più grande che divide equamente i numeri 30 e 36.
2. 2 Con l'aiuto di GCD, puoi semplificare le frazioni. Se sospetti che una frazione possa essere annullata, usa il massimo comun divisore. Trova il MCD del numeratore e del denominatore usando la procedura sopra. Quindi dividi il numeratore e il denominatore della frazione per quel numero. Di conseguenza, ottieni la stessa frazione in una forma più semplice.
   • Ad esempio, semplifichiamo la frazione /₃₆... Come abbiamo detto sopra, per 30 e 36, il MCD è 6, quindi dividiamo numeratore e denominatore per 6:
   • 30 ÷ 6 = 5
   • 36 ÷ 6 = 6
   • /₃₆ = /₆
3. 3 Trova il minimo comune multiplo di due numeri. Il minimo comune multiplo (LCM) di due numeri è il numero più piccolo che è equamente divisibile per entrambi i numeri. Ad esempio, l'LCM di 2 e 3 è 6 perché è il numero più piccolo che può essere divisibile per 2 e 3. Di seguito è riportato un esempio di ricerca dell'LCM utilizzando la scomposizione in fattori primi:
   • Cominciamo con due fattorizzazioni primi. Ad esempio, per 126, la fattorizzazione può essere scritta come 2 x 3 x 3 x 7. Il numero 84 può essere scomposto in fattori primi come 2 x 2 x 3 x 7.
   • Confrontiamo quante volte ogni fattore si verifica nelle espansioni. Seleziona l'elenco in cui il moltiplicatore si verifica il numero massimo di volte e cerchia questo punto. Ad esempio, il numero 2 appare una volta nell'espansione per 126 e due volte nell'elenco per 84, quindi dovresti cerchiare 2 x 2 nella seconda lista di fattori.
   • Ripeti questo passaggio per ogni moltiplicatore. Ad esempio, 3 è più comune nella prima espansione, quindi dovresti cerchiarlo 3 x 3... Il numero 7 appare una volta in entrambi gli elenchi, quindi cerchiamo 7 (non importa in quale lista, se il dato fattore si verifica in entrambe le liste lo stesso numero di volte).
   • Per trovare l'LCM, moltiplica tutti i numeri cerchiati. Nel nostro esempio, il minimo comune multiplo di 126 e 84 è 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252... Questo è il numero più piccolo divisibile per 126 e 84 senza resto.
4. 4 Usa LCM per aggiungere frazioni. Quando si aggiungono due frazioni, è necessario portarle a un denominatore comune. Per fare ciò, trova il LCM dei due denominatori. Quindi moltiplica il numeratore e il denominatore di ciascuna frazione per un numero tale che i denominatori delle frazioni siano uguali al LCM. Successivamente, puoi aggiungere le frazioni.
   • Ad esempio, è necessario trovare l'importo /₆ + /₂₁.
   • Usando il metodo sopra, puoi trovare l'LCM per 6 e 21. È 42.
   • Trasformiamo la frazione /₆ in modo che il suo denominatore sia 42. Per fare ciò, devi dividere 42 per 6: 42 ÷ 6 = 7. Ora moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per 7: /₆ X /₇ = /₄₂.
   • Per portare la seconda frazione al denominatore 42, dividi 42 per 21: 42 ÷ 21 = 2. Moltiplica numeratore e denominatore della frazione per 2: /₂₁ X /₂ = /₄₂.
   • Dopo che le frazioni sono state ridotte allo stesso denominatore, possono essere facilmente aggiunte: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

Esempi di compiti

• Prova a risolvere i problemi sottostanti.Se pensi di aver ricevuto la risposta corretta, evidenzia con il mouse il punto dopo i due punti nella dichiarazione del problema. Questi ultimi compiti sono i più difficili.
• Trova la scomposizione in fattori primi per 16: 2 x 2 x 2 x 2
• Scrivi la tua risposta in forma esponenziale: 2
• Trova la scomposizione in fattori primi di 45: 3 x 3 x 5
• Scrivi la tua risposta in forma esponenziale: 3 x 5
• Trova la scomposizione in fattori primi per 34: 2 x 17
• Trova la scomposizione in fattori primi di 154: 2 x 7 x 11
• Trova la scomposizione in fattori primi per 8 e 40, quindi determina il loro massimo comun divisore: la scomposizione in fattori primi di 8 è 2 x 2 x 2 x 2; la scomposizione in fattori primi di 40 è 2 x 2 x 2 x 5; MCD di due numeri 2 x 2 x 2 = 6.
• Trova la scomposizione in fattori primi di 18 e 52 e trova il loro minimo comune multiplo: La scomposizione in fattori primi di 18 è 2 x 3 x 3; la scomposizione in fattori primi di 52 è 2 x 2 x 13; Il LCM di due numeri è 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.

Consigli

• Ogni numero ha una sua caratteristica di fattorizzazione unica. Non importa come trovi questa espansione, dovresti ritrovarti con la stessa risposta. Questo è chiamato il teorema di base dell'aritmetica.
• Invece di riscrivere ogni volta i numeri primi su una nuova riga dell'albero dei fattori, puoi lasciarli al loro posto e semplicemente cerchiarli. Alla fine dell'espansione, includerà tutti i fattori primi cerchiati.
• Controlla sempre la risposta che ricevi. Puoi sbagliare e non accorgertene.
• Preparati per missioni complicate. Se ti viene chiesto di trovare una scomposizione in fattori primi di un numero primo, non è necessario eseguire alcun calcolo. Ad esempio, per il numero 17, la scomposizione in fattori primi è 17; questo numero non può essere scomposto in altri fattori primi.
• Il massimo comune multiplo e il minimo comune multiplo possono essere trovati per tre o più numeri.

Avvertenze

• L'albero dei moltiplicatori consente di determinare solo i fattori primi, non tutti i fattori possibili.