Contenuto

• Passi
• Parte 1 di 3: binomi di factoring
• Parte 2 di 3: fattorizzazione di binomi per risolvere equazioni
• Parte 3 di 3: risoluzione di problemi complessi
• Consigli
• Avvertenze

Un binomio (binomio) è un'espressione matematica con due termini tra i quali c'è un segno più o meno, ad esempio, ${ stile di visualizzazione ax + b}$... Il primo membro include la variabile e il secondo la include o non la include. La fattorizzazione di un binomio implica la ricerca di termini che, moltiplicati, producono il binomio originale per risolverlo o semplificarlo.

Passi

Parte 1 di 3: binomi di factoring

1. 1 Comprendere le basi del processo di factoring. Quando si scompone in fattori un binomio, il fattore che è un divisore di ciascun termine del binomio originale viene tolto dalla parentesi. Ad esempio, il numero 6 è completamente divisibile per 1, 2, 3, 6. Pertanto, i divisori del numero 6 sono i numeri 1, 2, 3, 6.
   • Divisori 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • I divisori di qualsiasi numero sono 1 e il numero stesso. Ad esempio, i divisori di 3 sono 1 e 3.
   • I divisori interi possono essere solo numeri interi. Il numero 32 può essere diviso per 3.564 o 21.4952, ma non ottieni un numero intero, ma una frazione decimale.
2. 2 Ordina i termini del binomio per facilitare il processo di factoring. Un binomio è la somma o la differenza di due termini, di cui almeno uno contiene una variabile. A volte le variabili sono elevate a una potenza, ad esempio, ${ stile di visualizzazione x ^ {2}}$ o ${ displaystyle 5 anni ^ {4}}$... È meglio ordinare i termini del binomio in ordine crescente di esponenti, ovvero il termine con l'esponente più piccolo viene scritto per primo e con il più grande - l'ultimo. Per esempio:
   • ${ stile di visualizzazione 3t + 6}$ → ${ stile di visualizzazione 6 + 3t}$
   • ${ stile di visualizzazione 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ stile di visualizzazione 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ stile di visualizzazione x ^ {2} -2}$ → ${ stile di visualizzazione -2 + x ^ {2}}$
     • Nota il segno meno davanti a 2. Se un termine viene sottratto, scrivi un segno meno davanti ad esso.
3. 3 Trova il massimo comun divisore (MCD) di entrambi i termini. MCD è il numero più grande per cui entrambi i membri del binomio sono divisibili. Per fare ciò, trova i divisori di ciascun termine nel binomio, quindi seleziona il massimo comun divisore. Per esempio:
   • Un compito:${ stile di visualizzazione 3t + 6}$.
     • Divisori 3: 1, 3
     • Divisori 6: 1, 2, 3, 6.
     • MCD = 3.
4. 4 Dividi ogni termine del binomio per il massimo comun divisore (MCD). Fai questo per scomporre il GCD. Nota che ogni membro del binomio decresce (perché è divisibile), ma se il MCD è escluso dalla parentesi, l'espressione finale sarà uguale a quella originale.
   • Un compito:${ stile di visualizzazione 3t + 6}$.
   • Trova il GCD: 3
   • Dividi ogni termine binomiale per mcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Sposta il divisore fuori dalle parentesi. In precedenza, hai diviso entrambi i termini del binomio per il divisore 3 e hai ottenuto ${ stile di visualizzazione t + 2}$... Ma non puoi eliminare 3 - affinché i valori delle espressioni iniziale e finale siano uguali, devi mettere 3 fuori dalle parentesi e scrivere l'espressione ottenuta come risultato della divisione tra parentesi. Per esempio:
   • Un compito:${ stile di visualizzazione 3t + 6}$.
   • Trova il GCD: 3
   • Dividi ogni termine binomiale per mcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Moltiplica il divisore per l'espressione risultante:${ stile di visualizzazione 3 (t + 2)}$
   • Risposta: ${ stile di visualizzazione 3 (t + 2)}$
6. 6 Controlla la tua risposta. Per fare ciò, moltiplica il termine prima delle parentesi per ogni termine all'interno delle parentesi. Se ottieni il binomio originale, la soluzione è corretta. Ora risolvi il problema ${ stile di visualizzazione 12t + 18}$:
   • Ordina ai membri:${ stile di visualizzazione 18 + 12t}$
   • Trova il GCD:${ stile di visualizzazione 6}$
   • Dividi ogni termine binomiale per mcd:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Moltiplica il divisore per l'espressione risultante:${ stile di visualizzazione 6 (3 + 2t)}$
   • Controlla la risposta:${ stile di visualizzazione (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Parte 2 di 3: fattorizzazione di binomi per risolvere equazioni

1. 1 Fattorizzare il binomio per semplificarlo e risolvere l'equazione. A prima vista, sembra impossibile risolvere alcune equazioni (soprattutto con binomi complessi). Ad esempio, risolvi l'equazione ${ displaystyle 5a-2a ^ {2} = - 3a}$... Ci sono poteri in questa equazione, quindi fattorizza prima l'espressione.
   • Un compito:${ displaystyle 5a-2a ^ {2} = - 3a}$
   • Ricorda che un binomio ha due membri. Se l'espressione include più termini, scopri come risolvere i polinomi.
2. 2 Aggiungi o sottrai un monomio a entrambi i lati dell'equazione in modo che lo zero rimanga su un lato dell'equazione. Nel caso della fattorizzazione, la soluzione delle equazioni si basa sul fatto immutabile che qualsiasi espressione moltiplicata per zero è uguale a zero. Pertanto, se identifichiamo l'equazione a zero, allora uno qualsiasi dei suoi fattori deve essere uguale a zero. Imposta un lato dell'equazione a 0.
   • Un compito:${ displaystyle 5a-2a ^ {2} = - 3a}$
   • Imposta a zero:${ displaystyle 5a-2a ^ {2} + 3a = -3a + 3a}$
     • ${ displaystyle 8a-2a ^ {2} = 0}$
3. 3 Fattorizzare il cestino risultante. Eseguire questa operazione come descritto nella sezione precedente. Trova il massimo comun divisore (MCD), dividi entrambi i termini del binomio per esso, quindi sposta il fattore fuori dalle parentesi.
   • Un compito:${ displaystyle 5a-2a ^ {2} = - 3a}$
   • Imposta a zero:${ displaystyle 8a-2a ^ {2} = 0}$
   • Fattore:${ stile di visualizzazione 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Imposta ogni fattore a zero. Nell'espressione risultante, 2y viene moltiplicato per 4 - y e questo prodotto è uguale a zero. Poiché qualsiasi espressione (o termine) moltiplicata per zero è zero, allora 2y o 4 - y è 0. Imposta il monomio e il binomio risultanti su zero per trovare "y".
   • Un compito:${ displaystyle 5a-2a ^ {2} = - 3a}$
   • Imposta a zero:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Fattore:${ stile di visualizzazione 2y (4-y) = 0}$
   • Imposta entrambi i fattori a 0:
     • ${ stile di visualizzazione 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Risolvi le equazioni risultanti per trovare la risposta (o le risposte) finale. Poiché ogni fattore è uguale a zero, l'equazione può avere più soluzioni. Nel nostro esempio:
   • ${ stile di visualizzazione 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ stile di visualizzazione 4-y = 0}$
     • ${ stile di visualizzazione 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Controlla la tua risposta. Per fare ciò, sostituisci i valori trovati nell'equazione originale. Se l'uguaglianza è vera, allora la decisione è corretta. Sostituisci i valori trovati invece di "y". Nel nostro esempio, y = 0 e y = 4:
   • ${ stile di visualizzazione 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ stile di visualizzazione 0 + 0 = 0}$
     • ${ stile di visualizzazione 0 = 0}$Questa è la decisione giusta
   • ${ stile di visualizzazione 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ stile di visualizzazione 20-32 = -12}$
     • ${ stile di visualizzazione -12 = -12}$E questa è la decisione giusta

Parte 3 di 3: risoluzione di problemi complessi

1. 1 Ricorda che un termine con una variabile può anche essere fattorizzato, anche se la variabile è elevata a potenza. Quando si scompone in fattori, è necessario trovare un monomio che divida integralmente ciascun membro del binomio. Ad esempio, il monomio ${ stile di visualizzazione x ^ {4}}$ può essere fattorizzato ${ stile di visualizzazione x * x * x * x}$... Cioè, se il secondo termine del binomio contiene anche la variabile "x", allora "x" può essere tolto dalle parentesi. Quindi, tratta le variabili come numeri interi. Per esempio:
   • Entrambi i membri del binomio ${ stile di visualizzazione 2t + t ^ {2}}$ contengono "t", quindi "t" può essere tolto dalle parentesi: ${ stile di visualizzazione t (2 + t)}$
   • Inoltre, una variabile elevata a una potenza può essere tolta dalla parentesi. Ad esempio, entrambi i membri del binomio ${ stile di visualizzazione x ^ {2} + x ^ {4}}$ contenere ${ stile di visualizzazione x ^ {2}}$, così ${ stile di visualizzazione x ^ {2}}$ può essere tolto dalla parentesi: ${ stile di visualizzazione x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Aggiungi o sottrai termini simili per ottenere un binomio. Ad esempio, data l'espressione ${ stile di visualizzazione 6 + 2x + 14 + 3x}$... A prima vista, questo è un polinomio, ma in realtà questa espressione può essere convertita in un binomio. Aggiungi termini simili: 6 e 14 (non contengono una variabile) e 2x e 3x (contengono la stessa variabile "x"). In questo caso, il processo di factoring sarà semplificato:
   • Espressione originale:${ stile di visualizzazione 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Ordina ai membri:${ stile di visualizzazione 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Aggiungi termini simili:${ stile di visualizzazione 5x + 20}$
   • Trova il GCD:${ stile di visualizzazione 5 (x) +5 (4)}$
   • Fattore:${ stile di visualizzazione 5 (x + 4)}$
3. 3 Fattorizzare la differenza dei quadrati perfetti. Un quadrato perfetto è un numero la cui radice quadrata è un numero intero, per esempio ${ stile di visualizzazione 9}$${ stile di visualizzazione (3 * 3)}$, ${ stile di visualizzazione x ^ {2}}$${ stile di visualizzazione (x * x)}$ e persino ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ stile di visualizzazione (12t * 12t)}$... Se il binomio è la differenza dei quadrati perfetti, ad esempio, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, allora viene fattorizzato dalla formula:
   • Differenza di quadrati formula:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a-b)}$
   • Un compito:${ stile di visualizzazione 4x ^ {2} -9}$
   • Estrai le radici quadrate:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Sostituisci i valori trovati nella formula: ${ stile di visualizzazione 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x-3)}$
4. 4 Fattorizzare la differenza tra i cubi completi. Se il binomio è la differenza di cubi completi, ad esempio, ${ stile di visualizzazione a ^ {3} -b ^ {3}}$, quindi viene fattorizzato utilizzando una formula speciale. In questo caso, è necessario estrarre la radice cubica da ciascun membro del binomio e sostituire i valori trovati nella formula.
   • La formula per la differenza tra i cubi:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a-b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Un compito:${ stile di visualizzazione 8x ^ {3} -27}$
   • Estrarre le radici cubiche:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Sostituisci i valori trovati nella formula: ${ stile di visualizzazione 8x ^ {3} -27 = (2x-3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Fattorizzare la somma dei cubi interi. A differenza della somma dei quadrati perfetti, la somma dei cubi completi, ad esempio, ${ stile di visualizzazione a ^ {3} + b ^ {3}}$, può essere fattorizzato utilizzando una formula speciale. È simile alla formula per la differenza tra i cubi, ma i segni sono invertiti. La formula è abbastanza semplice: per usarla, trova la somma dei cubi interi nel problema.
   • La formula per la somma dei cubi:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Un compito:${ stile di visualizzazione 8x ^ {3} -27}$
   • Estrai radici cubiche:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Sostituisci i valori trovati nella formula: ${ stile di visualizzazione 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Consigli

• A volte i membri binomiali non hanno un divisore comune. In alcune attività, i membri sono presentati in forma semplificata.
• Se non riesci a trovare subito GCD, inizia dividendo per piccoli numeri. Ad esempio, se non vedi che il MCD dei numeri 32 e 16 è 16, dividi entrambi i numeri per 2. Ottieni 16 e 8; questi numeri possono essere divisi per 8. Ora ottieni 2 e 1; questi numeri non possono essere ridotti. Quindi, è ovvio che esiste un numero maggiore (rispetto a 8 e 2), che è il divisore comune dei due numeri dati.
• Nota che i termini di sesto ordine (con un esponente di 6, ad esempio x) sono sia quadrati perfetti che cubi perfetti. Pertanto, ai binomi con termini di sesto ordine, ad esempio x - 64, si possono applicare (in qualsiasi ordine) le formule per la differenza dei quadrati e la differenza dei cubi. Ma è meglio applicare prima la formula per la differenza dei quadrati per scomporre più correttamente con un binomio.

Avvertenze

• Un binomio, che è la somma dei quadrati perfetti, non può essere fattorizzato.