Contenuto

• Passi
• Parte 1 di 2: Le basi
• Parte 2 di 2: trasformazione della matrice espansa per risolvere gli SLAE
• Consigli

Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni che hanno un insieme comune di incognite e, quindi, una soluzione comune. Il grafico del sistema di equazioni lineari è di due rette e la soluzione del sistema è il punto di intersezione di queste rette. Per risolvere tali sistemi di equazioni lineari, è utile e conveniente utilizzare le matrici.

Passi

Parte 1 di 2: Le basi

1. 1 Terminologia. I sistemi di equazioni lineari sono composti da vari componenti. Una variabile è indicata da un carattere alfabetico (di solito x o y) e indica un numero che non conosci ancora e che devi trovare. Una costante è un certo numero che non cambia il suo valore.Il coefficiente è il numero che precede la variabile, ovvero il numero per il quale viene moltiplicata la variabile.
   • Ad esempio, per un'equazione lineare, 2x + 4y = 8, xey sono variabili, 8 è costante e i numeri 2 e 4 sono coefficienti.
2. 2 Modulo per un sistema di equazioni lineari. Un sistema di equazioni algebriche lineari (SLAE) con due variabili può essere scritto come segue: ax + by = p, cx + dy = q. Qualsiasi costante (p, q) può essere zero, ma ciascuna delle equazioni deve contenere almeno una variabile (x, y).
3. 3 Espressioni di matrice. Qualsiasi SLAE può essere scritto in forma matriciale e quindi, utilizzando le proprietà algebriche delle matrici, risolverlo. Quando si scrive un sistema di equazioni in forma matriciale, A rappresenta i coefficienti della matrice, C rappresenta matrici costanti e X denota una matrice sconosciuta.
   • Ad esempio, il suddetto SLAE può essere riscritto nella seguente forma matriciale: A x X = C.
4. 4 Matrice espansa. La matrice estesa si ottiene trasferendo a sinistra la matrice dei termini liberi (costanti). Se hai due matrici, A e C, la matrice espansa sarà simile a questa:
   • Ad esempio, per il seguente sistema di equazioni lineari:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     La matrice espansa sarà 2x3 e avrà questo aspetto:

Parte 2 di 2: trasformazione della matrice espansa per risolvere gli SLAE

1. 1 Operazioni elementari. È possibile eseguire determinate operazioni su una matrice, ottenendo così una matrice equivalente a quella originale. Tali operazioni sono chiamate elementari. Ad esempio, per risolvere una matrice 2x3, è necessario eseguire operazioni sulle righe per portare la matrice in una forma triangolare. Tali operazioni possono essere:
   • permutazione di due linee.
   • moltiplicare una stringa per un numero diverso da zero.
   • moltiplicare una stringa e aggiungerla a un'altra.
2. 2 Moltiplicazione della seconda riga per un numero diverso da zero. Se vuoi zero sulla seconda riga, puoi moltiplicare la riga per renderlo possibile.
   • Ad esempio, se hai una matrice come questa:
     
     
     Puoi mantenere la prima riga e usarla per ottenere zero sulla seconda riga. Per fare ciò, devi prima moltiplicare la seconda riga per 2:
3. 3 Moltiplica ancora. Per ottenere zero per la prima riga, potresti dover moltiplicare di nuovo usando manipolazioni simili.
   • Nell'esempio sopra, devi moltiplicare la seconda riga per -1:
     
     
     Dopo la moltiplicazione, la matrice sarà simile a questa:
4. 4 Aggiungi la prima riga alla seconda. Aggiungi le righe per ottenere uno zero al posto della prima colonna e della seconda riga.
   • Nel nostro esempio, aggiungi entrambe le righe per ottenere quanto segue:
5. 5 Scrivi un nuovo sistema di equazioni lineari per una matrice triangolare. Una volta ottenuta la matrice triangolare, puoi tornare a SLAE. La prima colonna della matrice corrisponde alla variabile sconosciuta x e la seconda corrisponde alla variabile sconosciuta y. La terza colonna corrisponde all'intercetta dell'equazione.
   • Per il nostro esempio, il nuovo sistema di equazioni lineari assumerà la forma:
6. 6 Risolvi l'equazione per una delle variabili. Nel nuovo SLAE, determinare quale variabile è più facile da trovare e risolvere l'equazione.
   • Nel nostro esempio, è più conveniente risolvere dalla fine, cioè dall'ultima equazione alla prima, spostandosi dal basso verso l'alto. Dalla seconda equazione, possiamo facilmente trovare una soluzione per y, poiché ci siamo sbarazzati di x, quindi y = 2.
7. 7 Trova la seconda incognita con il metodo di sostituzione. Una volta trovata una delle variabili, puoi inserirla nella seconda equazione per trovare la seconda variabile.
   • Nel nostro esempio, basta sostituire y con 2 nella prima equazione per trovare l'incognita x:

Consigli

• Gli elementi di matrice sono comunemente indicati come scalari.
• Per risolvere una matrice 2x3, è necessario eseguire operazioni elementari sulle righe. Non è possibile eseguire queste operazioni sulle colonne.