Contenuto

• Passi
• Parte 1 di 3: trasponi la matrice
• Parte 2 di 3: proprietà di trasposizione
• Parte 3 di 3: matrice coniugata hermitiana con elementi complessi
• Consigli

Se impari a trasporre le matrici, avrai una migliore comprensione della loro struttura. Potresti già conoscere le matrici quadrate e la loro simmetria per aiutarti a padroneggiare la trasposizione. Tra le altre cose, la trasposizione aiuta a trasformare i vettori in forma matriciale e a trovare prodotti vettoriali. Quando si lavora con matrici complesse, le matrici hermitiane-coniugate (coniugate-traspose) possono aiutare a risolvere una serie di problemi.

Passi

Parte 1 di 3: trasponi la matrice

1. 1 Prendi qualsiasi matrice. Qualsiasi matrice può essere trasposta, indipendentemente dal numero di righe e colonne. Molto spesso è necessario trasporre matrici quadrate che hanno lo stesso numero di righe e colonne, quindi per semplicità, considera la seguente matrice come esempio:
   • la matrice UN =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9
2. 2 Immagina la prima riga di una matrice diretta come prima colonna della matrice trasposta. Basta scrivere la prima riga come una colonna:
   • matrice trasposta = A
   • prima colonna della matrice A:
     1
     2
     3
3. 3 Fai lo stesso per il resto delle linee. La seconda riga della matrice originale diventerà la seconda colonna della matrice trasposta. Traduci tutte le righe in colonne:
   • UN =
     1  4  7
     2  5  8
     3  6  9
4. 4 Prova a trasporre una matrice non quadrata. Qualsiasi matrice rettangolare può essere trasposta allo stesso modo. Basta scrivere la prima riga come prima colonna, la seconda riga come seconda colonna e così via. Nell'esempio seguente, ogni riga della matrice originale è contrassegnata con un proprio colore per rendere più chiaro come viene trasformata quando viene trasposta:
   • la matrice Z =
     4  7  2  1
     3  9  8  6
   • la matrice Z =
     4  3
     7  9
     2  8
     1  6
5. 5 Esprimiamo la trasposizione sotto forma di notazione matematica. Sebbene l'idea di trasposizione sia molto semplice, è meglio scriverla come una formula rigorosa. La notazione matriciale non richiede termini speciali:
   • Supponiamo data una matrice B costituita da m X n elementi (m righe e n colonne), allora la matrice trasposta B è un insieme di n X m elementi (n righe e m colonne).
   • Per ogni elemento b_xy (linea X e colonna sì) della matrice B nella matrice B esiste un elemento equivalente b_yx (linea sì e colonna X).

Parte 2 di 3: proprietà di trasposizione

1. 1 (M = M Dopo la doppia trasposizione, si ottiene la matrice originale. Questo è abbastanza ovvio, poiché quando trasponi di nuovo, cambi di nuovo le righe e le colonne, ottenendo la matrice originale.
2. 2 Specchia la matrice attorno alla diagonale principale. Le matrici quadrate possono essere "capovolte" rispetto alla diagonale principale. Inoltre, gli elementi lungo la diagonale principale (da a₁₁ nell'angolo in basso a destra della matrice) rimangono al loro posto e il resto degli elementi si sposta dall'altra parte di questa diagonale e rimane alla stessa distanza da essa.
   • Se trovi difficile immaginare questo metodo, prendi un pezzo di carta e disegna una matrice 4x4. Quindi riorganizzare i suoi elementi laterali rispetto alla diagonale principale. Allo stesso tempo, traccia gli elementi a₁₄ e un₄₁... Una volta trasposti, devono essere scambiati come le altre coppie di elementi laterali.
3. 3 Trasponi la matrice simmetrica. Gli elementi di tale matrice sono simmetrici rispetto alla diagonale principale. Se esegui l'operazione sopra e "capovolgi" la matrice simmetrica, non cambierà. Tutti gli elementi cambieranno in quelli simili. In effetti, questo è il modo standard per determinare se una data matrice è simmetrica. Se vale l'uguaglianza A = A, allora la matrice A è simmetrica.

Parte 3 di 3: matrice coniugata hermitiana con elementi complessi

1. 1 Considera una matrice complessa. Gli elementi di una matrice complessa sono composti da parti reali e immaginarie. Tale matrice può anche essere trasposta, sebbene nella maggior parte delle applicazioni pratiche vengano utilizzate matrici coniugate-trasposte o hermitiane-coniugate.
   • Sia data una matrice C =
     2+io     3-2io
     0+io     5+0io
2. 2 Sostituisci gli elementi con numeri coniugati complessi. Nell'operazione di coniugazione complessa, la parte reale rimane la stessa e la parte immaginaria cambia segno nell'opposto. Facciamolo con tutti e quattro gli elementi della matrice.
   • trova la matrice coniugata complessa C * =
     2-io     3+2io
     0-io     5-0io
3. 3 Trasponiamo la matrice risultante. Prendi la matrice coniugata complessa trovata e trasponila semplicemente. Di conseguenza, otteniamo una matrice coniugata trasposta (coniugata hermitiana).
   • la matrice coniugata trasposta C =
     2-io        0-io
     3+2io     5-0io

Consigli

• In questo articolo, la matrice trasposta relativa alla matrice A è indicata come A. C'è anche la notazione A 'o Ã.
• In questo articolo, la matrice hermitiana-coniugata rispetto alla matrice A è indicata come A, che è una notazione comune nell'algebra lineare. Nella meccanica quantistica si usa spesso la notazione A.A volte una matrice coniugata hermitiana è scritta nella forma A *, ma è meglio evitare questa notazione, poiché viene utilizzata anche per scrivere una matrice coniugata complessa.